A folyadékok nagy távolságba történő eljuttatása csövekben történik. Gondoljunk csak a víz-, gáz-, vagy olajvezetékekre, vagy az élőlények érhálózatára. A folyadéktranszport sokkal hatékonyabb, ha az áramlás sima, lamináris, vagyis a póréhagyma héjaihoz hasonló hengeres rétegeken belül közel azonos sebességű (de az egyes rétegekben más és más: a sebesség középen a legnagyobb, a falnál pedig eltűnik). A belső súrlódásból, a viszkozitásból adódó veszteségek ugyanis ilyenkor a legkisebbek. Az áramlás azonban lehet rendezetlen, örvényekkel teli, ún. turbulens áramlás is. Ebben a vízhozam azonos nyomás mellett jelentősen csökken, hiszen a befektetett energia egy része örvények keltésére fordítódik. Már lassúnak tekinthető áramlási sebességek esetén is megfigyelhető, hogy egészen gyenge külső zavarok az eredetileg lamináris áramlást turbulenssé tehetik. Nagy sebességeknél minden csőbeli áramlást spontán módon turbulensnek várunk.

A hagyományos szemlélet

A csőbeli áramlást először Osborne Reynolds vizsgálta alaposan a XIX. század nyolcvanas éveiben. Állandó nyomáskülönbség hatására vízszintes csőben áramló vízbe óvatosan keskeny festékfonalat fecskendezett a cső közepén (1. ábra). Lamináris áramlásban a festékfonal jó közelítéssel vízszintesen nyúlik el a cső tengelye mentén. Az áramlás rendezetlenné, turbulenssé válását az jelzi, hogy a festék egy bizonyos távolság megtétele után egyenletesen oszlik el a cső teljes keresztmetszetében. 

1. ábra. Reynolds kísérleti elrendezése eredeti cikkéből [1]
(https://misclab.umeoce.maine.edu/boss/classes/SMS_491_2003/Week_5.htm).
A berendezés ma is látható a Manchesteri Egyetemen [2]

A Manchesteri Egyetemen végzett alapvető kísérleti megfigyelései összefoglalásaként írt 1883-as cikkében Reynolds megfogalmazta, hogy elegendően hosszú csövek esetén az egész probléma szempontjából egyetlen lényeges paraméter létezik, az azóta róla elnevezett Reynolds-szám (1. blokk). Ez az 

 Re= U·D/n                                                                                            (1)

összefüggéssel adható meg, ahol U a csőbeli átlagsebesség, D a cső átmérője, és n a folyadék ún. kinematikai (vagyis egységnyi sűrűségre vonatkoztatott) viszkozitása.

Az a felismerés, hogy az (1) Reynolds-szám az egyetlen lényeges paraméter, azt is jelenti, hogy bármilyen mennyiség, mely a csőbeli áramlással kapcsolatos, csakis a Reynolds-szám függvénye lehet. Elegendően hosszú cső esetén a cső L₀ hossza nem játszik szerepet. 

Reynolds kísérletei azt is sugallták, hogy a turbulencia hirtelen jelenik meg, méghozzá akkor, ha a Reynolds-szám túllép egy kritikus Re_c értéket. A kísérleteket az azóta eltelt százharminc évben sok helyen megismételték, s a Reynolds által legvalószínűbbnek talált (1900 és 2000 közötti) értéktől és egymástól is jelentősen eltérő kritikus értékeket találtak! Az 1. táblázat összefoglalja néhány megbízható tankönyv adatait és érdekességként a nagyon divatos wikipediában jelenleg található számértékeket is idézi.

1. táblázat. A kritikus Reynolds-szám értéke különböző források szerint

A táblázatban megfigyelhető nagy eltérések arra utalnak, hogy Reynolds eredeti elképzelése nem lehetett teljes. Ha ugyanis a csőbeli turbulencia kialakulása hirtelen történne, akkor minden kísérletben ugyanazt az Re_c értéket kellene kapni. A jelenség fizikája tehát jóval bonyolultabb, mint ahogy első ránézésre tűnik.

Már Reynolds észrevette, hogy „a cső bemeneténél fellépő zavarok gondos elkerülésével” [6] sokkal nagyobb Reynolds-számokig marad lamináris az áramlás. Később világossá vált az is, hogy a cső falának érdessége is számít, s durvább falú csőben előbb alakul ki a turbulencia. 

A csőbeli turbulencia modern fizikai értelmezése

Az utóbbi két évtizedben jelentős kísérleti és elméleti előrelépés történt. Számos nagy pontosságú kísérletet végeztek Delftben, Manchesterben és Göttingenben. Ezekben hosszú, L₀=13–30 m-es csöveket használtak, melyek átmérője D=3–10 mm volt. A vízzel végzett kísérletek jellegzetes elrendezését a 2. ábra mutatja. A cső eleje és vége közötti nyomáskülönbséget szigorúan állandónak tartják.

2. ábra. A göttingeni kísérleti összeállítás sematikus ábrája (balra) és a cső (középen) hossznézeti fényképe. A bal oldali kamerák segítségével a csőbeli sebességeloszlás pontosan mérhető (Alberto de Lozar felvétele). A cső átmérője D=4mm, hossza L₀=15m 

A lamináris és a turbulens állapot közötti különbség (és összefüggés) bemutatható egyszerű, otthon is elvégezhető kísérlettel. Egy kb. 80 cm magasságban elhelyezett tartályból, D=2,8 mm átmérőjű hos.szú gumicsövön vizet folyatunk ki úgy, hogy a cső vége vízszintes. A kifolyó víz átlagsebessége az egységnyi idő alatt mért vízhozam alapján: U=0,9 m/s. Mivel a 20 fokos víz kinematikai viszkozitása n =10^-6 m²/s, a Reynolds-számra Re=2500-et kapunk. Meglepve tapasztaljuk, hogy anélkül, hogy a tartályt vagy a csövet mozgatnánk, a víz hol távolabbra, hol közelebbre spriccel (3. ábra).

3. ábra. A víz kifolyási távolsága Re=2500 esetén egy nagyobb és egy kisebb érték között ingadozik (az ELTE Kármán Laboratórium felvétele)

A kifolyási sebességek különbözősége arra utal, hogy a csőben egyszerre vannak jelen lamináris és turbulens tartományok, s amikor lamináris tartomány ér a cső végére, akkor nagyobb a kifolyási sebesség. 

A lamináris és a turbulens viselkedésre jellemző sebességeloszlás pontosan ki is mérhető a cső keresztmetszete mentén a 2. ábrán látható berendezésekkel (4. ábra).

4. ábra. A lamináris áramlásra az ún. parabolaprofil jellemző (bal oldali ábra). A sebesség a csővel párhuzamos, közepén a legnagyobb. Eloszlása henger-szimmetrikus (póréhagymaszerűen réteges), a sebesség négyzetesen csökken a tengelytől mért távolsággal a cső faláig, ahol eléri a nulla értéket. Turbulens esetben (jobb oldali ábra) a sebességnek lehet a cső tengelyére merőleges összetevője is. A mért adatok a csővel párhuzamos komponens pillanatnyi értékeit mutatják. Az eloszlás szabálytalan, nem hengerszimmetrikus (Alberto de Lozar ábrái) 

Az ábra jobb oldalán látott turbulens sebességeloszlások átlagolásával a hengeres szimmetria helyreáll, de kiderül. hogy az átlagolt eloszlás középen sokkal laposabb, mint a parabolaprofil, és a maximális sebesség, ill. az átlagos sebesség is jóval kisebb. Ez a különbség mutatkozik meg a 3. ábra spriccelési távolságaiban, összhangban azzal a már említett állítással, miszerint a turbulens áramlás vízhozama kisebb.

Kísérleti szempontból jelentős előrelépést jelentett az az egyszerű felismerés, hogy a Re=2000 körüli Reynolds-számok tartományában jól reprodukálható viselkedés kapható, ha (rögzített, sima falú csőben) az áramlás megzavarása úgy történik, hogy rövid idő alatt adott mennyiségű folyadékot juttatunk kívülről a csőbe egy injekcióstűszerű berendezéssel (szemben a régebben használt módszerrel, mely akadályt alkalmazott a cső belsejében). 

A kísérletek azt mutatják, hogy az 1700 és 2100 közötti Reynolds-szám tartományban az injektálás hatására turbulens viselkedés alakul ki, a turbulencia azonban egyáltalán nem tölti be a csövet. A turbulens viselkedés örvénycsomagokba, ún. pöffökbe (angolul puff) koncentrálódik (5. ábra). A megfigyelések szerint ebben a tartományban minden injektálás egyetlen pöfföt kelt, vagyis a pöfföket csakis az injektálások hozzák létre. A pöffök sebessége körülbelül megegyezik a csőbeli átlagos U áramlási sebességgel. A mérések szerint egy pöff hossza kb. az átmérő húszszorosa, 20D.

5. ábra. Numerikus szimulálásban meghatározott pöffök és cső menti helyzetük egymást követő két időpontban. A színezett tartomány azt jelzi, ahol jelentős a sebességnek a parabola profiltól való eltérése (méretük itt ezért csak kb. 5D-nek tűnik, [10] alapján). A pöffök egyenletesen mozognak a cső mentén

A jelenség megértéséhez fontos elméleti hozzájárulás volt az a megfigyelés, hogy a lamináris parabola profil (4. ábra bal oldali kép) minden Reynolds-számra stabil [11], vagyis bármilyen kis zavar előbb-utóbb elhal és a parabolaprofil előbb-utóbb helyreáll. A kritikus Reynolds-szám (ha létezik) elérésekor a parabola profilnak megfelelő áramlás tehát nem veszítheti el stabilitását, ahogy pedig azt korábban hitték. Erre a hitre az adott okot, hogy több ismert átváltási folyamat, mint pl. az áramlás beindulása alulról fűtött folyadékrétegben (az ún. termikus konvekció kialakulása), azzal jár, hogy az eredeti áramlás instabillá válik. A turbulencia csőbeli kialakulása tehát más jellegű, mint amit az áramlástan egyéb jelenségeiben megszokhattunk. 

Úgy is fogalmazhatunk, hogy az elmélet szerint a parabolaprofil az egyetlen olyan áramlási forma, mely hosszú idő után beállhat, vagyis ez a probléma egyetlen állandósult mozgásformája, attraktora. Ez arra utal, hogy a turbulens pöffök, melyek az áramlás viszonylag jelentős megzavarásával jönnek létre és ezért nem követik a parabolaprofilt, véges élettartamúak, hiszen nagyon hos.szú idő után a lamináris áramlásnak (a parabolaprofilnak) kell visszaállnia. A pöffbeli turbulencia így elvileg sohasem permanens, s ezért a Reynolds által keresett kritikus Re_cnem létezhet. 

Csőbeli turbulencia és tranziens káosz 

A turbulencia összetettebb, mint a káosz, hiszen térbeli rendezetlenséget is tartalmaz (a káosz pedig alapértelmezésében időbeli változás (l. Gruiz Márton keretezett írását a Káosz, környezet, komplexitás c. különszámunkban), tehát térbeli kiterjedéssel nem rendelkező jelenségekre vonatkozik). A turbulencia véges élettartama miatt azonban érdemes mégis felvetni azt a gondolatot, hogy a turbulencia lecsengése nem hasonló jellegű-e mint a káoszé. A káoszelmélet szóhasználatával, a pöffökben megjelenő turbulencia nem olyan jellegű-e, mint a tranziens káosz [12].

Egy pöff meglétét a cső végén, a 3. ábra egyszerű kísérletének szellemében, a spriccelési távolságban mutatkozó visszaesés mutatja. Ha ilyen nincs, akkor a pöff elhalt, mielőtt elérte volna a cső végét. A mérésekből kiderült, hogy a pöffök valóban általában elhalnak. 

A gerjesztéseket különböző helyeken végezve, vagy különböző hosszúságú csöveket használva, meghatározható az egyes pöffök t élettartama adott Reynolds-szám mellett. Sok-sok mérésből az is kiolvasható, hogy mi a P(t) valószínűsége annak, hogy egy pöff legalább t ideig él. 

Az eredmények kivétel nélkül azt mutatták, hogy a valószínűségeloszlás elegendően nagy időkre exponenciálisan cseng le

 P(t)~e^–kt=e^–t/t.                                                                              (2)

Az élettartamok (jelen esetben a turbulens élettartamok) ugyanazon eloszlását kapjuk tehát, mint tranziens káoszban [13] (l. Gruiz Márton írását és benne a Szökési ráta blokkot). A k mennyiség neve szökési ráta, annak t reciprokát pedig a káosz átlagos időbeli hosszának tekinthetjük, a turbulencia összefüggésében a pöffök átlagos élettartamának.

A turbulenciával kapcsolatos mérésekben az időt D/U egységekben szokás mérni. A Reynolds-szám kapcsán említettük, hogy sima falú csövekben minden lényeges men.nyiség, így ez a dimenziótlan t élettartam is csak a Reynolds-számtól függhet. A kérdés tehát az, milyen jellegű ez a függés, hogyan néz ki a mért t(Re) függvény. Természetesen azt várjuk, t nőni fog az áramlás sebességével és így a Reynolds-számmal. Ez a növekedés azonban a vártnál is jóval gyorsabbnak bizonyult (6. ábra), ahogy Björn Hof és göttingeni munkatársai kimutatták [14,15]. A viselkedés úgynevezett szuperexponenciális függvénnyel írható le (2. blokk). 

6. ábra. A pöffök D/U egységekben mért élettartamának függése a Reynolds-számtól. Számos mérés (különböző szimbólumok) eredményeit összesítő grafikon. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a függőleges tengely logaritmikus. ([14,15] alapján) 

Az, hogy a 6. ábrán látható dimenziótlan . pontosan hány szekundumnak felel meg, függ a kísérleti elrendezéstől. A göttingeni csőben pl. D=4 mm, s 2000-es Reynolds-számot (a víz n =10^-6 m²/s értékével) akkor kapunk, ha az áramlás sebessége U=0,5 m/s. Az időegység ekkor D/U=8·10^-3 s. A 6. ábrán feltüntetett leghosszabb mért idő 2,5·10⁷ időegység, azaz 200 000 s, ami 2,3 nap. Ha a t értékét megadó képletet Re=2100-nál értékeljük ki, akkor már 190 napnyi élettartamot kapunk. Felmerül a kérdés, nem érdemes-e azt mondani, hogy ez már praktikusan végtelen? Senki sem fog több mint fél évig tartó kísérletekből sorozatokat végezni, hogy meghatározhassa a még nagyobb Reynolds-számokhoz tartozó élettartamokat. Mondhatjuk, hogy 2100 fölött a turbulencia permanens? Mondhatjuk. Az állítás azonban egyetlen pöffre érvényes csak, mely mintegy 20D hosszúságú, azaz elhanyagolható kiterjedésű a cső teljes hosszához képest.

Pöff-felhasadás

A turbulencia kialakulásának megértéshez alapvető az a felismerés, hogy a 2000-nél nagyobb Reynolds-számok tartományában a pöffök már nem maradnak izoláltak. Spontán módon felszakadnak és újabb pöfföket hoznak létre. Ez úgy történik, hogy a pöff időnként a folyás irányában hirtelen megnyúlik eredeti mérete (20D) néhányszorosára. A nyúlvány örvényessége kicsi, de az eredeti pöfftől távol az örvényesség felerősödhet (miközben középen kihal), s új pöff jön létre az eredetihez hasonló adatokkal. Ezt a folyamatot a 7. ábra szemlélteti. A pöfföket itt a tengely irányú örvényesség alapján azonosíthatjuk. Az örvényesség adott irányú összetevője arányos a folyadékrészecskéknek az iránynak megfelelő tengely körüli forgásával. A lamináris esetben a cső tengelye mentén semmilyen helyi forgás nincs jelen. A tengely irányú örvényesség-összetevő ezért alkalmas a lamináris, turbulens tartományok egyértelmű elkülönítésére. 

7. ábra. A pöff-felhasadás folyamata Re=2300 esetén. Ez a szimulálás a csőnek egy 150D hosszúságú szakaszát mutatja (a folyadékkal együtt mozogva) 3000 időegységig (függőleges tengely). A cső fala itt nincs jelölve, s ezért az egymást követő időpillanatokban a csőbeli folyadék-tartományok az ábrán összeérnek. A piros szín erős tengely irányú átlagos örvényességet jelöl, s azonosítja a pöfföket ([14] alapján) 

A felhasadás 2000 körüli Reynolds-számokra még egészen ritkán történik, több hónapig is várni kellene rá, az események azonban egyre gyakoribbá válnak a Reynolds-szám növelésével. A pontos kísérleti vizsgálat kimutatta, hogy a felhasadás véletlen folyamat, mely nem függ az adott pöff előéletétől. Jól meghatározható annak P(t) valószínűsége is, hogy egy pöff t idő után még ne hasadjon fel. Hof csoportja erre ismét a (2) exponenciális eloszlást találta, bármely Reynolds-szám mellett. Az ebben az eloszlásban megjelenő időparamétert t_f-fel jelöljük, mert ez a felhasadások közötti átlagos időtartamnak tekinthető, s egészen más jellemző adat, mint a pöffök t  élettartama. A felhasadási idők t_f(Re) Reynolds-szám függésére kapott eredmények a 8. ábrán láthatók. Ez a mennyiség természetesen csökkenő tendenciát mutat a Reynolds-számmal. 

8. ábra. A pöffök felhasadási idejének függése a Reynolds-számtól. Számos mérés (különböző szimbólumok) eredményeit összesítő grafikon ([15] alapján)

Mivel t_f mindig véges, pöff-hasadás bármelyik Reynolds-számnál történhet, csak 2000 alatt nincs időnk kivárni, hogy ez bekövetkezzék. A t és t_f  görbék metszéspontja azonban sajátos, új jelentéssel bír (l 3. blokk).

Nagy Reynolds-számok felé

A vizsgálatok szerint a 2400-nál nagyobb Reynolds-szám tartományban a pöffök már olyan sokan vannak, hogy nem lehet őket megkülönböztetni. Összeolvadnak és hosszabb-rövidebb turbulens tartományok alakulnak ki. Az érdekes kérdés itt az, hogy milyen P(l) valószínűséggel lesz a turbulens tartományok teljes hossza a csőben egy l érték vagy annál nagyobb. Ezt a kérdést egyelőre csak numerikusan sikerült vizsgálni, végtelen hosszúnak tekinthető csőben. Az eredmény [16] ismét exponenciális eloszlás

 P(l) = e^–l/Lt,                                                                                       (3)

ahol az l hosszat a D átmérő egységében mérjük. A fenti összefüggésből leolvasható L_t mennyiség a turbulencia átlagos hosszának tekinthető, D egységében meghatározva. Ez nyilván nő a Reynolds-számmal, a pontos eredményeket a 9. ábra mutatja.

9. ábra. Az L_t turbulens hossz függése a Reynolds-számtól. Az illesztett pontozott görbe szuperexponenciális (2. blokk). A betét grafikon a D átmérő egységében mért L_l lamináris hosszat mutatja (mely szintén a (3)-nak megfelelő eloszlásból adódik). A lamináris hossz csökken Re-vel, a turbulens hosszal ellentétben azonban hatvány-függvény szerint: L_l ~ Re ^-10,8 ([15] alapján) 

A turbulens hossz minden Reynolds-számra véges, ezért elvileg sohasem mondhatjuk, hogy a teljes cső turbulens. A 9. ábra betétjéről leolvasható azonban, hogy az L_l átlagos lamináris hossz Re=2800-nál egységnyi, azaz a mm-ben mért hossz a D átmérő nagyságrendjébe esik. Ezért 3000 körül már gyakorlati szempontból teljesnek tekinthetjük a cső turbulenciával való betöltöttségét. 

Összefoglalás

A turbulencia csőbeli kiterjedését érdemes a turbulens aránnyal jellemezni, melyet kísérletekben definiálhatunk úgy mint az L_t turbulens hossz és a pöffök 20 átmérőnyi méretének különbsége, azaz (L_t-20)D, a cső teljes L₀ hosszához viszonyítva. Ez a men.nyiség eltűnik, amíg csak egyetlen pöff létezik, s éppen Re_c-nél kezd nőni. A 10. ábra a turbulens arányt mutatja a Reynolds-szám függvényében, az egyes tartományokra jellemző jelenségekre is utalva.

10. ábra. A turbulens arány sematikus függése a Reynolds-számtól. A függvény pontos alakja még nem ismert, csak azt tudjuk, hogy Rec=2040-nél lineárisan indul [15] és aszimptotikusan tart 1-hez 

Azt mondhatjuk tehát, hogy a csőbeli turbulencia jellegzetesen tranziens. Nem létezik tehát a turbulenciának megfelelő attraktor, ezért a csőbeli turbulencia fokozatosan, széles Reynolds-szám tartományban tud csak teret nyerni. Ennek megfelelően, a hagyományos értelemben vett kritikus Reynolds-szám nem létezik (s ezt tükrözték már az 1. táblázat erősen szóró értékei is). Az egész Re=1700-3000 közötti tartomány átmeneti tartománynak tekinthető. Benne a turbulens arány az új értelemben definiált Re_c=2040 kritikus Reynolds-szám fölött egyre növekszik. 

Az új szemlélet számos új felismerésre vezetett. Kiderül például, hogy több áramlásban is hasonlóan jelenik meg a turbulencia (4. blokk). A káosszal való analógia felveti a kérdést, hogy mivel a káosz instabil periodikus mozgásokból épül fel, megtalálhatóak-e a csőben is ilyen instabil periodikus áramlási formák. Ezek instabil haladó hullámoknak felelnek meg. A turbulencia ilyen instabil hullámokból való felépítése igen nehéz, de szép feladat lenne. Az első ilyen hullámok kísérleti kimutatása a nehézségek ellenére mégis sikeresen megtörtént [16, 17].

A pöffök részletes szerkezetének megismerése gyakorlati szempontból is fontos következményekre vezethet. Így például lehetővé válik a turbulencia szabályozása, vagyis a turbulens állapotból a laminárisba való átvezetés, legalábbis alacsony Reynolds-számok mellett [18]. 
 

Köszönet

A munka az OTKA NK100296 pályázat támogatásával készült. A szerző köszönetet mond B. Eckhartnak, B. Hofnak és M. Avilanak az évek óta a témáról folytatott diszkussziókért. Vincze Miklóst a kísérletért, Tél Andrást az ábrák elkészítéséért/adaptálásáért illeti köszönet. 
 

Irodalom

[1] O. Reynolds, Philos. Trans. R. Soc. 174, 935 (1883)
[2] D. Jackson, B Launder, Osborne Reynolds and the Publication of His Papers on Turbulent Flow, Annu. Rev. Fluid Mech. 39, 19 (2007)
[3] Németh E., Hidrodinamika, Tankönyvkiadó, 1963 
[4] Budó Á., Kísérleti Fizika I, Tankönyvkiadó, 1968 
[5] L. Landau-E.M. Lifsic, Hidrodinamika, Tankönyvkiadó, 1980 
[6] P. Kundu, Fluid Mechanics, Academic Press, 1990
[7] Lajos T., Az áramlástan alapjai, BME Áramlástan Tanszék, 2004; 2008
[8] https://en.wikipedia.org/wiki/Reynolds_number (2013 június)
[9] https://hu.wikipedia.org/wiki/Reynolds-szám  (2013 június) 
[10] B. Eckhardt, Nonlinearity 21, T1 (2008)
[11] S. Grossmann, Rev. Mod. Phys. 72, 603 (1999)
[12] Tél. T, Informatika 13, 12 (2011) 
[13] Y.-C. Lai, T. Tél, Transient Chaos: Complex Dynamics on Finite-Time Scales, Springer, 2011 
[14] B. Hof, A. de Lozar, D.J. Kuik, J. Westerweel, Phys. Rev. Lett. 101, 214501 (2008)
[15] K. Avila. D. Moxey, A. de Lozar, M. Avila, D. Barkley, B. Hof, Science 333, 192 (2011)
[16] M. Avila, B. Hof, Phys. Rev. E 87, 063012 (2013)
[17] M. Avila, F. Mellibovsky, N. Roland, B. Hof, Phys. Rev. Lett. 110, 224502 (2013)
[18] B. Hof, A. de Lozar, M. Avila, X. Tu, T.  Schneider, Science 327, 1491 (2010)

---

Természet Világa,

145. évfolyam, 4. szám, 2014. április http//www.termvil.hu/  https://www.chemonet.hu/TermVil/