Neumann János neve a nagyközönség számára elválaszthatatlanul összefonódott a játékelmélettel és az elektronikus számítógépekkel. Csak kevesen tudják, hogy ez a sokoldalú és széles érdeklődési körű kutató kiemelkedő fontosságú eredményeket ért el mind a matematika számos területén (halmazelmélet, csoportelmélet, mértékelmélet, operátorok elmélete, folytonos geometriák stb.), mind az elméleti fizika, különösképpen az akkor megszületőben lévő kvantumelmélet szigorú megalapozásában.

Neumann János életpályája és az elméleti fizikában elért eredményei érdekes módon összefonódnak gyermekkori barátja és iskolatársa, Wigner Jenő munkásságával, valamint a kvantummechanika elméleti megalapozásának izgalmas történetével.

Az 1920-as évekre elegendő kísérleti adat és megfigyelés halmozódott fel ahhoz, hogy felmerüljön az átfogó elméleti magyarázat igénye a következő kérdésre: a mikrovilág fizikai rendszereinek lehetséges állapotai bizonyos körülmények között miért csak meghatározott, diszkrét értékeket vehetnek fel? Heisenberg, Born és Jordan 1925-ben dolgozott ki egy elméletet, amely a "mátrixmechnika" elnevezést kapta [1]. Ebben az elméletben a rendszer energiáját meghatározó fizikai mennyiségek mátrixokkal hozhatók megfeleltetésbe, így a rendszer energiája is mátrix alakjában áll elő. Ennek a mátrixnak a sajátértékei éppen a rendszer megengedett állapotainak megfelelő energiák.

Nem kellett azonban sokáig várni arra, hogy 1926-ban Schrödinger kidolgozza a híres hullámegyenletén alapuló "hullámmechanikát", amelyből igen egyszerű és kvantitatív módon levezethető például a hidrogénatom Bohr-féle modellje [2]. A kétféle kvantummechanika látszólag nagyon különbözött egymástól. Míg Heisenberg mátrixokkal, Schrödinger operátorokkal reprezentálta a fizikai mennyiségeket, vagyis mátrixegyenletek álltak szemben egy parciális differenciálegyenlettel. A kétfajta megközelítés (matematikai) egyenértékűségét Schrödinger mutatta meg 1926-ban [3].

A kvantummechanika egységes formalizmusát Dirac dolgozta ki, aki egyrészt megadta a hullámegyenlet kovariáns megfogalmazását, másrészt az időközben Goudsmit és Uhlenbeck által felfedezett elektronspint is beépítette az egységes elméletbe. Dirac az elméletet 1930-ban tette közzé The Principles of Quantum Mechanics című könyvében, amely azóta számos kiadást ért meg [4].

Neumann János 1927-1928-ban Göttingenben David Hilbert mellett a funkcionálanalízis terén végzett kutatásokat, miközben nyomon követhette a kvantummechanika formalizmusának megszületését is. Ugyancsak ott tartózkodott Hilbert asszisztenseként Wigner Jenő, aki az atomok spektrumának értelmezésére a csoportelmélet módszereit alkalmazta. Ez időből származik három közös publikációja Neumann Jánossal, akivel a csoportelméleti módszert kiterjesztette az elektronspin figyelembevételére is az atomok energiaspektrumának meghatározásában [5]. Wigner Jenő kutatásainak eredményeit Gruppentheorie und Ihre Anwendung auf die Quantenmechanik der Atomspektren című, 1931-ben megjelent könyvében összegezte [6].

Neumann János, aki a Hilbert-tér operátorainak spektrálelméletével foglalkozott, azonnal észrevette, hogy ez a matematikai keret kiválóan megfelel arra, hogy a kvantummechanikát korrekt és szigorú matematikai alapokra helyezze. 1927-1929 folyamán több fontos cikket jelentetett meg a kvantummechanika matematikai alapjairól [7]. Ezek nyomán született klasszikussá vált könyve, a Mathematischen Grundlagen der Quantenmechanik, amely 1932-ben jelent meg [8].

A mátrixmechanika és a hullámmechanika közötti "transzformáció" megvalósításához, illetve az ún. folytonos spektrumhoz tartozó, nem normálható hullámfüggvények kezelésére Diracnak egy különös "függvényt", a Dirac-féle d-függvényt kellett bevezetnie, amely a következő furcsa tulajdonságokkal rendelkezett:

ň^Ą_-Ąd(x)dx=1, ň^Ą_-Ąd(x)f(x)dx=f(0).

Ilyen függvény, amely mindenütt zérus, kivéve a nulla értéket, ahol olyan mértékben válik végtelenné, hogy az integrálja egységnyi, természetesen a hagyományos értelemben nem létezik, ezért a matematikusok, köztük Neumann János is, idegenkedtek ettől a "fizikusi" megoldástól. Szerencsére a funkcionálanalízis rendelkezett a megfelelő eszközökkel, így a szigorú matematikai tárgyalásban ezt a kellemetlenséget el lehetett kerülni. Azóta természetesen a d-függvény a disztribúcióelmélet keretében megfelelő megalapozást nyert.

Könyve előszavában Neumann János a következőket írja: "Dirac mind nemrég kiadott könyvében, mind pedig számos cikkében a kvantummechanikát felülmúlhatatlanul elegánsan, tömören és ugyanakkor invariáns formában fogalmazta meg. Ezért talán helyénvaló, hogy a mi módszerünk mellett - ez Diracétól lényegesen eltér - néhány érvet sorakoztassunk fel.

Dirac fent említett módszere (és erről világossága és eleganciája miatt a kvantummechanika irodalmának nagy részében manapság elfeledkeznek) nem elégíti ki a matematikai szigorúság követelményeit még akkor sem, ha azokkal szemben az elméleti fizika egyéb ágaiban közismert és természetes módon engedményeket teszünk. E módszer például erőteljesen tapad ahhoz a fikcióhoz, hogy minden önadjungált operátor diagonális alakra hozható. Az ilyen operátoroknál, ahol ez nem lehetséges, önellentmondó tulajdonságokkal rendelkező különleges függvények bevezetésére van szükség. Az ilyen matematikai ťfikciókraŤ Dirac módszerében még akkor is szükség van, amikor szemléletesen definiált kísérlet eredményének numerikus kiszámítására kerül sor. Nem lenne helye az ellenvetésnek akkor, ha ezekre az analízis jelenlegi kereteibe be nem illő fogalmakra a fizikai elmélet sajátos szerkezete miatt szükség volna. Arra gondolhatnánk, hogy amint Newton mechanikája maga után vonta az eredeti formájában kétségtelenül ellentmondásos infinitezimális kalkulus fejlődését, úgy a kvantummechanika is ťa végtelen sok változó analízisénekŤ új formáját sugallja, vagyis hogy a matematika apparátusát kell megváltoztatni, nem pedig a fizikai elméletet. A helyzet azonban semmi esetre sem ez. Hangsúlyozni kell, hogy a kvantummechanika ťtranszformációelméletétŤ olyan alakba lehet önteni, amely világos, egyértelmű és matematikai szempontból sem kifogásolható. Rá kell mutatnunk, hogy ez a korrekt felépítés nem abban áll, hogy Dirac módszerét pontosítjuk és megmagyarázzuk, hanem az alapoktól kezdve más eljárásra lesz szükségünk; ez az eljárás az operátorok Hilbert-féle spektrálelméletére támaszkodik."

A könyv hatalmas sikert aratott, számos nyelvre lefordították, sajnos, a magyar kiadásra majd 50 évet kellett várni! Wigner Jenő Neumann eredményeinek értékelése kapcsán fogalmazta meg a véleményét e műről: "A leggyakrabban a számítógépet említik, amikor arról van szó, hogy mivel járult hozzá a fizikához, de én nem ezt tartom a legfontosabbnak. Szintén csodálom az új típusú atombomba, az implóziós bomba kifejlesztését. Ez is nagyon fontos eredmény volt. De én ezeknél az eredményeknél fontosabbnak tartom a kvantummechanika matematikai alapjairól írt könyvét. Ez a kvantummechanika sok olyan szabályát tartalmazza, amelyről véleményem szerint tudta, hogy nem végleges és nem igazán helytálló. De rendszerezni akarta a témakört. A mérés folyamatának leírásából is látszik: tudta, hogy az elmélet nem teljes. Azt írta, hogy a kvantummechanika nem alkalmazható a mérési folyamatra, ami azt jelenti, hogy a kvantummechanikának korlátozott az érvényességi köre, sőt még az alapelvei is konfliktusban vannak egymással…"

L. van Hove, a CERN egykori főigazgatója 1958-ban a következőképpen értékelte Neumann János munkásságát a kvantummechanika terén [9]: "A kvantummechanikának nagy szerencséje volt, hogy röviddel 1925-ös felfedezése után sikerült felkeltenie egy Neumann-kaliberű matematikai zseni érdeklődését. Ennek eredményeképpen egyetlen ember mindössze két év alatt (1927-1929) kifejlesztette az elmélet matematikai formalizmusát, és interpretációjának teljesen újszerű szabályait részletes elemzésnek vetette alá."

1954-ben Neumann János még utoljára kirándult a kvantummechanika területére, és Wigner Jenővel közösen ismét egy, ezúttal a kvantummechanikai szórásfolyamatok tárgyalásánál fellépő matematikai problémát oldott meg [10]. Wigner és Eisenbud 1947-ben kidolgozott egy magreakció-elméletet, amely R-mátrix-elmélet néven vált ismertté a szakirodalomban [11]. A Neumann Jánossal közösen írt cikkben ennek a mátrixnak az analitikus tulajdonságait vizsgálják a rendszer energiájának függvényében. E cikk eredményei tették többek között lehetővé, hogy az ún. rezonanciareakciókat részletes és viszonylag egyszerű matematikai módszerekkel vizsgálják.

Neumann János úttörő munkásságát többen továbbfejlesztették, köztük Riesz Frigyes és Szőkefalvi-Nagy Béla, akik 1952-ben francia nyelven jelentettek meg monográfiát a funkcionálanalízis legújabb eredményeiről [12]. Azóta ez a könyv a kvantumelmélet matematikai apparátusát használók számára szinte bibliává vált, és a kvantum-szóráselméletben standard referencia lett, bizonyos mértékig elfoglalva Neumann János monográfiájának helyét. Ismét csak magyar sajátosság, hogy e kitűnő könyvnek is majd fél évszázadot kellett várnia, hogy a szerzők anyanyelvén is megjelenhessen!

Neumann János a mátrixmechanika dinamikai egyenleteit bizonyos szempontból az integrálegyenletekkel állította analógiába, amelyek elmélete - Fredholm kutatásainak köszönhetően - már igen magas fejlettségi szintet ért el. Ennek megfelelően kutatásaiban kiterjedten alkalmazta a funkcionálegyenletek, például az integrálegyenletek elméletének módszereit. Érdekes módon Neumann János preferenciáját igazolja a modern kvantummechanikai szóráselmélet, amelyben az integrálegyenletek elméletének matematikai apparátusa kiemelkedően fontos szerephez jut.

B. A. Lippmann és J. Schwinger 1947-ben a Schrödinger-egyenletet ekvivalens integrálegyenletté transzformálta, amelyet ma a szakirodalom Lippmann-Schwinger-egyenletnek nevez [13]. Ez az egyenlet a kéttest-probléma esetén rövid hatótávolságú potenciálokra Fredholm-típusú, így a Fredholm-elmélet eredményei alapján különösen egyszerűen tárgyalható. Nem sokkal később felismerték, hogy kettőnél több részecske esetén az egyenlet szingulárissá változik, ezért az integrálegyenletes formalizmus alapvető módosításra szorul. A kvantummechanikai háromtest-probléma L. D. Fagyejev által kidolgozott szigorú matematikai elmélete [14] az integrálegyenlet magjának módosításával - a szingularitásért felelős tagok invertálásával - a szingularitást megszünteti, és az eredményként nyert csatolt integrálegyenletek magja már Fredholm-típusú lesz. Hasonló megfontolások figyelembevételével született meg az egzakt N-részecske-integrálegyenletek egy egész családja, amely ma - elvben - lehetővé teszi a kvantummechanikai N-test-probléma szisztematikus megoldását [15]. Sajnos, a hosszú hatótávolságú Coulomb-kölcsönhatás egzakt tárgyalása e formalizmus keretében a mai napig nem megoldott. Nagy kár, hogy Neumann János nincs közöttünk, ő bizonyosan ma is hasznos tanácsokkal szolgálna!
 

Irodalom

W. Heisenberg, Z. Phys. 33 (1925) 879.; M. Born, P. Jordan, Z. Phys. 34 (1925) 858.; M. Born, W. Heisenberg, P. Jordan, Z. Phys. 35 (1926) 557.
E. Schrödinger, Ann. Phys. 79 (1926) 361.
E. Schrödinger, Ann. Phys. 79 (1926) 734.
P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford, 1930
J. von Neumann, E. P. Wigner, Zur Erklärung einiger Eigenschaften der Spektren aus der Quantenmechanik des Drehelektrons I., Z. Phys. 47 (1928) 203-230.; J. von Neumann, E. P. Wigner, Zur Erklärung einiger Eigenschaften der Spektren aus der Quantenmechanik des Drehelektrons II., Zeitschrift f. Phys. 48 (1928) 868-881.; J. von Neumann, E. P. Wigner, Zur Erklärung einiger Eigenschaften der Spektren aus der Quantenmechanik des Drehelektrons III., Zeitschrift f. Phys. 51 (1928) 844-858.
E. P. Wigner, Gruppentheorie und Ihre Anwendung auf die Quantenmechanik der Atomspektren, Braunschweig, F. Vieweg und Sohn, 1931 (magyarul: Wigner Jenő, Csoportelméleti módszer a kvantummechanikában, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1979)
D. Hilbert, J. von Neumann, L. Nordheim, Über die Grundlagen der Quantenmechanik, Math. Ann. 98 (1927) 1-30.; J. von Neumann, Mathematische Begründung der Quantenmechanik. Gött. Nachr., 1927, J. von Neumann, Wahrscheinlichkeis-theoretischer Aufbau der Quantenmechanik, Gött. Nachr., 1927, 245-272.
Neumann János, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. Springer, Berlin, 1932
(magyarul: A kvantummechanika matematikai alapjai, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1980)
L. van Hove, Von Neumann`s contributions to quantum theory, Bull. Am. Phys. Soc. 64 (1958) 95-99.
J. von Neumann, E. P. Wigner, Significance of Loewner’s Theorem in the Quantum Theory of Collisions. Ann. Math. 59 (1954) 418-433.
E. P. Wigner, L. Eisenbud, Phys. Rev. 72 (1947) 29.
F. Riesz, B. Sz. Nagy, Leçons D’Analyse Fonctionelle, Akadémiai Kiadó. Budapest, 1952 (magyarul: Funkcionálanalízis, Tankönyvkiadó, Budapest, 1980)
B. A. Lippmann, J. Schwinger, Phys. Rev. 79 (1950) 469.
L. D. Fagyejev, Mathematical Aspects of the Three-Body Problem in Quantum Scattering Theory, Davey, New York, 1965 (orosz eredeti: Sztyeklov, Matematikai Intézet. Leningrád, 1963)
Lásd. pl. O. A. Jakubovszkij, Jagyernaja Fizika 5 (1967) 937.