Vasárnap volt, 1990 novemberében, és már korán beesteledett. Egy fiatal matematikusra vártam, aki azt ígérte, hétfőig elhozza a Természet Világába szánt cikkének befejező részét. Laczkovich Miklós akkoriban nagy visszhangot kiváltó új eredményéről, a „kör modern négyszögesítéséről” írt. A család már lepihent, s nem lévén más hely, a kis konyhánkban ültünk le, hogy megbeszéljük a cikk körüli teendőket, az illusztrációkat…

Most, 2013-ban, én jöttem el hozzá az MTA Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézetbe, interjút készíteni vele. Az igazgatói szobában ülünk, Pálfy Péter Pált körbeveszik nagy elődeinek, az intézet korábbi vezetőinek a képei. Szépen bekeretezve ott függnek mögötte a falakon.

Hogyan is kezdjem?
 

– Kedves igazgató-professzor úr, kihasználom az alkalmat, hogy itt lehetek. Beszélgetésünk előtt a segítségedet kérem. Egy feladattal bajlódom, megakadtam vele. Ez a feladat:

Állapítsuk meg a²+b² lehető legkisebb értékét, ha a és b olyan valós számokat jelentenek, amelyekre az x⁴+ax³+bx²+ax+1=0 egyenletnek van legalább egy valós gyöke.

– Főszerkesztő úr, most viccelsz velem. Sejtem, miért. Ugye, emlékeznem kellene erre a feladatra? De nem emlékszem. Mikor volt?

– Negyven éve. Az 1973-as Nemzetközi Matematikai Diákolimpia második feladatát idéztem. A magyar csapat tagjaként azon a diákolimpián te is részt vettél.

– Második díjas lettem, a saját megoldásomat otthon elő is tudnám bányászni.

– Egyszer majd megmutathatnád, bár a megoldást már kinéztem Reiman Istvánnak a nemzetközi matematikai diákolimpiákról írt nevezetes könyvéből. Mennyire emlékszel vissza ezekre a matematikai diákolimpiákra?

– Csak emléktöredékeim vannak. Látod, a feladatra sem emlékeztem. Arra azonban igen, hogy Pelikán Jocó, a megbízott csapatvezetőnk egyszer segédpontot harcolt ki egy rossz megoldásomra. Ott a kitevőben zárójelbe tettem valamit, aminek, ugye, semmi értelme. A jó megoldásban a kitevőben abszolút értéket kellett volna használni. Jocó bemagyarázta a versenybizottság koordinátorainak, hogy az bizony abszolút érték, csak kicsit görbére sikeredett. Az ötletem tehát jó volt, de nem tudtam rendesen kibontani – magyarázta nekik. Azzal a ponttal, persze, nem jutottam előre, de mégis…

– Mégis jó érzés, hogy harcoltak érted. Pelikán József, aki kiváló matematikus, közvetlen ember, és számos nyelven képes kommunikálni a többi csapatvezetővel, azóta is sok értékes pluszpontot talált a magyar diákoknak. Te milyen versenyzőtípus voltál?

– Nekem jól ment a versenyzés, hiszen erre voltunk edzve. Legérdekesebb sikeremet harmadik gimnazistaként értem el. Ma már ezt is le kell fordítani: a jelenlegi számozás szerint 11.-es voltam. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Versenyen az egyik feladatot sajtóhibával tűzték ki. Ha ez nem történik meg, akkor bizony gondban lehetett volna a versenybizottság, mert a három, nem túl nehéz feladatot sokan megoldották volna. Azzal nyertem meg a versenyt, hogy észrevettem a sajtóhibát. Mutattam egy ellenpéldát, hogy ez így nem igaz, de bebizonyítottam, ha a kisebb jel helyett kisebb-egyenlő jelet használunk, akkor helyes az állítás.

– Előjött az erős kritikai szellemed.

– Ami azóta is működik. Szegény kollégáim tudnának mesélni róla. Néha már azt gondolom, mint ahogy a kvantummechanika szerint a megfigyelés megváltoztatja a fizikai rendszer állapotát, ha én nézek rá egy szövegre, akkor abban sajtóhiba keletkezik.

– Ezt szomorúan tanúsíthatom, mert a Természet Világát is így olvasod. De térjünk vissza a gimnáziumi éveidhez. A Fővárosi Fazekas Mihály Gyakorló Gimnáziumban érettségiztél. Hogyan kerültél oda? 

– Nyolcadikos voltam, amikor az Élet és Tudomány Gondolkodás iskolája rovatát vezető Herczeg Jánostól levelet kaptam, hogy menjek a Berzsenyi Dániel Gimnázium speciális matematika tagozatos osztályába.

– Ő ugyanis akkor ott volt vezető matematikatanár.

– Felültem a villamosra, hogy megnézzem, hány perc alatt jutok el otthonról a Berzsenyi Dániel Gimnáziumba. Az eredménnyel elégedett voltam, úgy gondoltam, jó lesz nekem ott. Édesanyám barátnője azonban, aki a Művelődési Minisztériumban dolgozott, azt mondta neki, ha a fiad jó matekból, akkor a Fazekasban a helye. Így azután 1969 februárjában a meghirdetett időben elmentem a Fazekasba felvételi vizsgára. Ott némi tanakodás után kiderítették, hogy mindhárom budapesti matematika tagozatos iskolának az I. István Gimnáziumban tartják a felvételi vizsgáját. Jó háromnegyed órás késéssel értem oda, hogy megoldjam a felvételi feladatokat.

– Bizonyítottan ez így is sikerült neked. Ki volt a Fazekasban a matematikatanárotok?

– Reményi Gusztáv, akitől alapos munkát és precizitást lehetett tanulni, de a matematika szépségét nem igazán villantotta fel előttünk.

– Azt hol mutatták meg nektek?

– Az iskolában Elekes György és Hoffmann György tartottak nekünk érdekes matematikai szakkört. Igazán nagy élményt Reiman István olimpiai előkészítő szakkörei jelentettek, amelyeket kéthetente tartott a Műegyetemen. Oda általában azok jártak, akik valamilyen matematikai versenyen sikeresen szerepeltek. 

– Hogyan zajlottak a Reiman-szakkörök? Leültetett benneteket és felírta a táblára a feladatokat?

– Így van. Kis füzetből felírta az összeállított feladatait, mondott valamit indulásnak, mi pedig elkezdtünk gondolkodni a példákon. Körbement, nézelődött, kell-e segíteni valahol. Amikor valaki megoldotta a feladatot, azt elmondhatta, ő pedig kommentárokat fűzött hozzá, többféle megoldást mutatott. Nagyon tanulságos volt. Ma is csodálattal emlékezem, hogy bár ott nagy sztárok is voltak a diákok között, Reiman tanár úr mégis mindenkinek teremtett lehetőséget arra, hogy kimehessen a táblához és elmondja a megoldásait. Az újoncok se szorultak háttérbe.

– Nem lehetett egyszerű feladat kiválasztani azokat, akik Magyarországot képviselték a matematikai diákolimpián.

– Az bizony nehéz feladat. Amikor negyedikes gimnazista voltam, Reiman Pista bácsi megosztotta velem gondjait. Azon töprengett, ki legyen a csapatunkban. Az egyik gyerek a Kürschák-versenyen szerepelt jól, a másik az OKTV-n: akkor most melyiket válassza? Láttam, mekkora felelősség ez, hiszen például a minisztérium támogatása is a csapat szereplésétől függött.

– Ez is Reiman István nyitottságát bizonyítja: a tanítványaitól is tanácsot tudott kérni. 

– Pontosan. Kiváló matematikus volt, de a felkészítő szakkörein igazi zsenik is megfordultak, akik a matematikai gondolkodásban nála is magasabb szinten álltak. Félre ne értsd, magamat nem sorolom közéjük. Igazi oktatói és emberi kihívás volt ezt a helyzetet kezelni, amit ő nagyszerűen megoldott.

– Beszélt is erről egy interjúban, elmondta, milyen sokat tanult a diákjaitól. Bár azt hiszem, ezt majdnem minden jó professzor elmondhatja.

– Mert így is van!

– A Fazekasban a tanáraid közül kik hatottak rád legjobban?

– Legkiválóbbnak Fényi András magyartanárunkat, és Lukin Lászlót tartottam, aki nekünk éneket tanított.

– Hogyan lehetett az énektanár ilyen hatással egy kis matematikuspalántára? 

– Alkalmazkodott ahhoz a helyzethez, hogy az ének nem egy központi tárgy. Inkább arra törekedett, hogy élvezzük az óráit. Sok zenetörténeti, kulturális ismeretet kaptunk tőle, lemezeket hozott az óráira. Velem például megszerettette a modern zenét. Aki érdeklődött, azt elvitte a Korunk zenéje rádióműsor felvételére. Én is elmentem. Nagy élmény volt számomra, amikor az Operaház színpadán Mihály András elemezte Alban Berg Lulu című operáját. Lukin László hatására lettem zeneszerető ember. Még az énekkarba is beválogatott, bár nem tudom, miért. Ugyanis ott többször elhangzott a figyelmeztetése: „Pálfy, már megint fordítva tartja a kottát!” Akkor mondta, amikor nagyon hamisan énekeltem.

– A magyartanárotokat miért szerettétek?

– Fényi Bandi bácsinál nem volt számonkérés, feleltetés, ő a nyelvtanórán is az irodalomról beszélt. Egyetemi szintű előadásokat tartott, aki odafigyelt, nagyon sokat tanulhatott tőle.

– Mindezek után egyenes út nyílt meg előtted az Eötvös Loránd Tudományegyetem matematikus szakára. Felvételizned sem kellett. Egyértelmű volt a választásod, hogy matematikus leszel?

– Egyértelmű! Semmi máshoz nem értek.

– Na, de…

– Komolyan mondom.

– Az egyetemen kik voltak a professzoraid?

– Sok jó tanárom volt, közülük azonban messze kimagaslik Turán Pál. Csodálatosak voltak az előadásai. Akkor már a betegségével küzdött, mégis remek előadásokat tartott. 

– Azok mitől voltak jók?

– Turán előadásai nehezek voltak. Akkor élvezte igazán az ember, ha az alapokat jól értette, és a következő előadás anyagát előre elolvasta. Azután az előadáson kiderült, hogy mit miért kell tenni, mi a célja, hogyan épülnek egymásra a bizonyítás elemei. Más tanár meg nem tett volna olyant, hogy elmond egy rossz bizonyítást. Ő elkezdte bizonyítani a tételt, mondta, ezt így szoktuk csinálni, azután egy ponton hirtelen megállt: „Na, látják, kérem szépen, itt megdöglik a bizonyítás! Korábban egy trükköt kellett volna alkalmaznunk.” És szépen elmondta, hogy mit.

– Így az örökre megmaradt bennetek.

– Igen, igen. Az előadásain készített jegyzeteimet ma is őrzöm. Múltkor a kezembe akadtak, s látom, minden előadása végén ott van egy szám, zárójelbe téve. Hosszan gondolkoztam, mit jelölhettem meg ezzel, azután rájöttem, azt striguláztam, egy óra alatt a professzorom hányszor mondta azt, hogy „kérem szépen”.

– Kétjegyű számok voltak?

– Bőven! A felejthetetlenül izgalmas előadások kísérőszámai.

– Mások előadásaira is szorgalmasan jártál?

– Amire érdemes volt, arra igen. Amit könyvből megtanulhattam, annál időpocsékolásnak tartottam, hogy ott üljek az előadásokon. Ezen egyszer majdnem elcsúsztam, Hajnal András halmazelméleti vizsgáján. Akkor jelent meg a halmazelmélet jegyzete, az első előadásain láttam, hogy ugyanazt mondja el, ami abban van. Minek keljek fel akkor korán, majd megtanulom a jegyzetéből – gondoltam. Jött a vizsga. A kofinalitás két tulajdonságának ekvivalenciáját kellett bizonyítanom. A jegyzetben az A tulajdonság volt a definíció, és bebizonyítottuk, hogy az ugyanaz, mint a B tulajdonság. Csakhogy, mint utóbb kiderült, és erről én nem tudtam, Hajnal az előadásán a B tulajdonságot vette definíciónak, és a tétel azt mondta ki, hogy az A tulajdonság ekvivalens B-vel. Ami, persze, mivel a két tulajdonság ekvivalens, a bizonyításon nem változtat, de lelepleződtem, hogy nem voltam jelen az előadáson, ami nagyon megzavart, és csak nehezen tudtam kikecmeregni a szorult helyzetemből. Ez volt az egyik bukásom. Bukás, abban az értelemben, hogy…

– …nem kaptál ötöst.

– De igen, Hajnal végül beírta a jelest, majd rám nézett, és azt mondta: „Nem ezt vártam magától.” Ez pedig sokkal kínosabb volt annál, mintha beírja az elégtelent.

– Ránézek Hajnal András képére, mögötted, a falon. Mintha megbocsátón tekintene ránk. Rényi Alfréd, az intézetalapító is ott van. Ő, ugye, már nem tanított benneteket?

– Rényi akkor már nem élt. Gimnazista voltam, amikor eljutott hozzánk a halálhíre.

– A hazai algebrai kutatások kiválósága, Fuchs László sem taníthatott már titeket.

– Igen, ő 1966-ban külföldre távozott. Fried Ervin volt az algebrista az ELTE-n, akkor jött haza Kanadából, amikor a harmadévet befejeztem. Megindította a legendás algebrai szemináriumait, amiről annak idején Kollár János számolt be részletesen a Természet Világában. Számomra szerencsés időben indult a Fried-szeminárium. Addig mindig csak tanultam a matematikát. Tekintélyt parancsoló tudományos építménynek láttam, amit meg kell ismerni. Ott jöttem rá, hogy a matematikát művelni is lehet, új eredményekkel tovább építeni.
 

Fried Ervinnel Visegrádon (1977)

– Hogyan jutottál el az algebrához, és miként kötöttél ki a csoportelméletnél?

– Gimnazista koromban kezembe akadt egy kis könyvecske, Maurer Gyula és Virág Imre írták, A relációelmélet elemei volt a címe. Az absztrakt algebra alapjait taglalta. Annyira megtetszett, hogy már elsőéves hallgató koromtól mindig olyan speciális előadásokat vettem fel, amelyek a csoportelmélet körül forogtak.

– Ha ezt most, Gyula bácsi az égi mezőkről hallaná, nagyon boldog lenne.

 – Még életében elmondtam neki, és halála után a gyászszertartáson is beszéltem erről.

– Az Eötvös Loránd Tudományegyetemen kik tartottak csoportelméleti speciális előadásokat?

– Öt éven át jártam Corrádi Keresztély speciális előadásaira és szemináriumaira. Ő talán nem kapott annyi megbecsülést, mint amit megérdemelt volna.

– Szerény, visszahúzódó embernek ismerhettük.

– Igen, de sok, később nevessé vált tanítványa volt. Nála írta többek között a szakdolgozatát Rudas Imre, ma az Óbudai Egyetem rektora, Csörgő Piroska, aki az Eszterházy Károly Főiskolán egyetemi tanár, Héthelyi László, a Műegyetem volt docense, Mohamed Asszad, a Kairói Egyetem professzora. Corrádi Keresztélytől kiváló emberek tanultak csoportelméletet. Azután Pelikán Józseftől és Babai Lászlótól is több csoportelméleti speciálkollégiumot hallgattam.

– Az első publikációid hogyan születtek?

– Fried Ervinnek kiterjedt nemzetközi kapcsolatai voltak, szemináriumain időről időre külföldi matematikusok is felbukkantak, előadást tartottak, problémákat mondtak. A legelső szemináriumok egyikén Babai Laci, aki később mentorom és társszerzőm is lett, elmondott egy problémát, amelyet azon a nyáron, a szegedi konferencián hallott. Ez az univerzális algebra egyik legismertebb, egyébként máig megoldatlan kérdése. Felkeltette az érdeklődésemet, azóta jó pár cikket írtam erről, az első szerény publikációm is ennek egy egyszerű, speciális esetével foglalkozik. A Prágai Egyetem folyóiratában jelent meg. Később sokkal jelentősebb eredményt sikerült elérnünk egy cseh kollégával közösen. Tréfásan azt szoktam mondani, hogy mivel a nevemben nincs elég P betű, ezért kellett Pavel Pudlákkal együtt dolgoznom.

– Ebben a megoldásban alkalmaztál csoportelméletet egy attól távolinak tűnő terülten?

– Pontosan! Cikkünk összekapcsolja az univerzális algebrát a csoportelmélettel. Egy százszázalékosan univerzális algebrainak látszó kérdésről kiderítettük, hogy igazában csoportelméleti.

– Hogyan érez rá ilyenre az ember?

– Nehéz arra válaszolni, mitől jönnek a célhoz vezető ötletek.

– Nyilván erős szakmai háttér kell hozzá, mint esetedben a csoportelmélet.

– És szerencse is. Mert nehéz megmagyarázni, miként éreztem meg, hogy egy olyan probléma megoldására, amely egyáltalán nem tűnt annak, a csoportelméletet alkalmazhatom.

– Most jött el az idő, nem úszhatjuk meg, hogy kicsit ne beszéljünk a csoportelméletről és az univerzális algebráról.

– Akkor először az algebráról beszélek röviden. Három absztrakciós szintjét különíthetjük el. A klasszikus fejlődés az egyenletek megoldásával kezdődött, hogy már a görögök is…, sőt, már a babilóniaiak is megoldottak másodfokú egyenleteket. Módszerük lényegében ugyanaz volt, ahogyan ma a középiskoláinkban levezetik a másodfokú egyenletek megoldóképletét. A XVI. században az olasz reneszánsz matematikai csúcsteljesítménye volt a harmadfokú egyenlet megoldóképletének a megtalálása. Hamarosan a negyedfokú egyenletek megoldása is meglett. A XIX. század elején bizonyosodott be, hogy az ötödfokú egyenlet megoldására már nincs képlet. Ennek magyarázatát 1830 táján Évariste Galois francia matematikus adta meg, lezárva ezzel az egyenletek megoldhatóságának évszázados problémáját. Persze, neki is voltak előfutárai, de ő írta le teljes kidolgozásban, hogy azt kell nézni, az egyenlet megoldásának milyen szimmetriái vannak. Minden egyenlethez a gyökei permutációinak egy csoportja tartozik. Ezt nevezzük mai szóhasználattal az egyenlet Galois-csoportjának. A „csoport” egy speciális matematikai objektum, különböző struktúrák szimmetriáit írja le.

Később a matematika más területein is kifejlődtek ilyen absztrakt, elvont elméletek. A gyűrűelmélet például a számolás absztrakciója, a hálóelmélet a rendezésé. A huszadik század harmincas éveiben kezdődött és az ötvenes években erősödött meg a különféle algebrai struktúráknak, a csoportoknak, a gyűrűknek, a hálóknak további absztrakciója. Ezeknek a matematikai fogalmaknak a még általánosabb megközelítése megpróbálta a különböző területeken hasznosnak bizonyult absztrakciókat egy mederbe terelni, közös általánosításba foglalni. Az általános vagy univerzális algebra tulajdonképpen a valamilyen tulajdonságú műveleteknek a tana.

– Az absztrakció még magasabb…

– …lépcsőfoka. Mivel a matematika igen nagy részében konkrét számolásokat kell végezni, a matematikusok jelentős része az algebristákra kissé ferde szemmel néz. Mi ez az absztrakt nonszensz? – kérdezik.

– Azoktól, akik nem számolgatnak.

– Akik valamilyen axiómákból tételeket vezetnek le. Sokan megkérdőjelezik, hogy mi szükség az absztrakció újabb lépcsőfokaira. Az univerzális algebra egyik legelső monográfiájáról, Paul Cohn Universal Algebra könyvéről szóló ismertetőjében Graham Higman, aki csoportelmélész volt, a Journal of the London Mathematical Society-ban azt írta: az univerzális algebra olyan általános, hogy ezt mindenkinek ismernie kell, de senkinek sem szabadna vele foglalkoznia. Amiből persze az is következne, hogy ez olyan könyv, amit mindenkinek el kell olvasni, de senkinek sem kellett volna megírni.

– Elég gyilkos szöveg. De, ugye, nem igaz?

– Az univerzális algebrában valóban elég sok az olyan próbálkozás, ami nem biztos, hogy kiállja az idő próbáját. Némelyek szemében ez elfedi a terület komoly, súlyos elméleteit. A megfelelő, mértékadó közelítés megtalálása itt is nagyon fontos.

– Akkor hadd hozzak erre egy példát! Az Amerikai Matematikai Társulat 2010-ben kiadott egy könyvet a matematikai gondolkodásról. Alexandre V. Borovik írta, a címe: Mathematics under the Microscope. A könyv egyik fejezete: Finite snooks, snowflakes, Kepler and Pálfy. Ráadásul jól is írták a neved, ékezettel. Hogyan kerültél össze Keplerrel?

– Az említett könyv a matematika kognitív megközelítését vizsgálja, azt, hogy miként alakulnak ki a matematikai fogalmak a tanulókban, és magában a matematika fejlődésében. Az eredményem, amelyre a szerző hivatkozik, arról szól, hogy ha egy teljesen általános struktúrában az egyváltozós függvények mind olyanok, hogy vagy konstans értékűek vagy bijekciók, vagyis kölcsönösen egyértelmű leképezések, akkor ebben az általános struktúrában vagy eleve csak egyváltozós függvények vannak, vagy pedig ez egy vektortér. A vektortér tudvalevőleg a matematika egyik alapvető struktúrája. A szerző pozitív példaként említi a tételemet, mely rávilágít arra, hogy a vektortér miért fontosabb matematikai struktúra bármilyen univerzális algebrai kreációnál, hiszen a tételem megmutatja, ez természettől fogva jelen van.

Kandidátusi védés a Magyar Tudományos Akadémián (1983)

– Gondolom, a párba állított Kepler nem a vektortereket vizsgálgatta.

– Kepler, bár neki még nem volt mikroszkópja, tehát nem láthatta, a hópelyhek sokféleségében ismerte fel a lényeget, a hatszöges szimmetriát.

– Mondhatjuk, Pálfy Péter Pál pedig az algebra absztraktabb részében vette észre a zűrzavarban a rendet teremtő lényeget?

– Ha kissé szerényebben fogalmazol, akkor igen, mondhatjuk.

– Hogyan jut az ember eszébe ilyesmi? Te miként jutottál el a felismeréshez, a megoldáshoz?

– Ennek érdekes a története. Csákány Béla szegedi professzor kedves tanítványai éppen Kanadában voltak, amikor őt felkérték egy előadás tartására, amelynek a szövegét előre le kellett adnia. Ez még az e-mail korszak előtt történt, nem volt idő arra, hogy a kéziratát postára adva megmutassa tanítványainak. Hozzám fordult, nézzem át a konferenciára küldendő szövegét. Elolvastam, voltak megjegyzéseim. Eljött, itt a könyvtár mostani olvasószobájában beszélgettünk, ott volt akkor az algebrai osztály. Akkor tette fel azt a kérdést, mondhatunk-e valamit az olyan algebrai struktúrákról, amelyekben az egyváltozós függvények a már említett tulajdonsággal bírnak. Nagyon megtetszett nekem ez a felvetés, hiszen a kölcsönösen egyértelmű függvények csoportot alkotnak.

– Ismételten beugrott neked a csoportelmélet.

– Így van, és néhány nap alatt rájöttem, hogy ezt a kérdést egy súlyos csoportelméleti tétel alkalmazásával megoldhatom.

– Amikor az ember elkapja a fonalat, akkor, ugye, már nem törődik mással? Egész nap dolgoztál a problémán? 

– Éjjel-nappal! Akkor nincs más, megszűnik a külvilág. Ma már ezt nem tehetem meg, de akkor, fiatalon, megengedhettem magamnak. Otthon volt egy 1x1 méteres táblám, azon írogattam: töröltem, újra írtam, töröltem... Kezdett tisztulni a kép, kialakult, miből mit kell levezetnem.

– A vajúdáskor a nehézségeket csak magaddal beszéled meg?

– Magammal, persze. A kutatásban magányos farkas vagyok. Csak így tudok intenzíven dolgozni. Vannak, akik hárman, négyen ülnek a tábla előtt és egymás szavába vágva mondják el gondolataikat a megoldandó problémáról. Én, ha felfogok valamit, hazamegyek és otthon gondolkozom rajta. Utána, ha jutottam valamire, elmondom másoknak. Nekem is van több társszerzős munkám, de azok mind úgy születtek, hogy egy lépést én tettem meg, egy másikat a társam. A már emlegetett Pudlákkal közös cikkünk is így született.

– Hogyan?

– Pudlák egyik cseh kollégájával, Tůmával megoldott egy nevezetes hálóelméleti problémát. Schmidt Tamás meghívta őket, hogy tartsanak erről előadást az intézetünkben. Az első két előadásukban elmondták a bizonyításukat, a harmadikat annak szentelték, merre vezethet tovább az út. Arról beszéltek, hogy a következő megoldandó, már univerzális algebrai kérdés a véges algebrák kongruenciahálóiról szólna. Ebben az irányban Pudlák már megtette az első lépést. Elkezdtem továbbgondolni, és megtettem a másodikat. Elküldtem neki. Erre tett egy harmadik lépést, ami hibás volt. Rámutattam a hibájára, erre küldött egy matematikus körökben ismert karikatúrát, amelyen táblára írt levezetés látható, egy ponton odaírva: itt csoda történik! Ezek után ketten valahogy mégis összeraktuk, befejeztük a bizonyítást.

– Visszatérve a Csákány Béla felvetette, általad megoldott problémához, úgy tudom, ezzel nagy szívességet tettél egy Ralph McKenzie nevű matematikusnak.

– Ralph McKenzie, a Berkeley Egyetem professzora akkor éppen egy új elméleten dolgozott, amelyhez pont az én tételem hiányzott neki. Ő felülről építkezett, tudta, hogy mi kell neki az elmélete teljessé tételéhez, és azt is látta, hiányzik hozzá egy alappillér. Teljesen véletlen, hogy ezt akkor megtaláltam.

– Nem dolgozhattad volna ki te azt az elméletet, amit ő felépített?

– Nem, nem. Nekem nem volt ilyen vízióm az egészről. A tételemet csak úgy magában kiötlöttem. Persze, arra magam is rájöttem, hogy az mennyi mindenre használható. Már az eredeti cikkemben is van utalás az alkalmazásokra, és azt is láttam, hogy ez neki mennyire fontos. Ugyanakkor nem hiszem, hogy képes lettem volna arra, hogy ebből többet kihozzak.

– Tehát nincs rossz érzésed, hogy az alapkő a tiéd, de az épület másé?

– Egyáltalán nincs ilyen gondolatom.

– McKenzie később hivatkozott rád?

– Hogyne, a véges univerzális algebrák elméletről írt könyvének bevezetőjében lényegében azt mondja el, hogy annak megszületéséhez két fontos eredmény kellett, az egyik a Pálfy–Pudlák-tétel, a másik pedig az, amiről most beszéltünk.

– Hány éves voltál, amikor McKenzie elméletéhez ezt a hiányzó tételt bizonyítottad?

– Az a cikkem 1982-ben jelent meg, 27 éves voltam.

– És a Pálfy–Pudlák-cikk idején?

– Akkor még egyetemista.

– Hogyan van az, hogy a matematikusok az igazán nagy eredményeiket rendszerint huszonéves korukban érik el? Hiszen akkor még nincs meg a későbbi évek során felhalmozódó tapasztalatuk.

– Fiatalon az ember jobban bírja a koncentrált munkát, ami ahhoz kell, hogy valami nagyon jót kitaláljunk. A tudás és tapasztalat, bármilyen meglepő, sokszor akadályozhat. Az új utat keresőt gátolhatja, ha túl sokat tud arról, hogy merre szokás menni. Akkor lehet, hogy nem jön rá, merre vezet az igazi út. Az, amelyet még senki sem látott. A matematikusok általában igen fiatalon teszik meg a nagy húzásaikat.

– Gondolom, a Pudlákkal írt közös cikketek után is maradt még ott nyitott kérdés.

– Az alapkérdés ma is nyitott és megdöbbentően nehezen megközelíthető. Az a lépés, amit mi Pudlákkal megtettünk, az volt, hogy megmutattuk, ez igazából csoportelméleti kérdés, a részcsoporthálókra vonatkozó problémával egyenértékű, és ez a mai napig nincs megoldva. Az utóbbi években Michael Aschbacher, a kaliforniai Caltech professzora, a 2012. évi Wolf-díj nyertese, komolyan dolgozik ezen a kérdésen. Jó néhány cikket írt erről, ami nekem nagyon jól jön…

– Mert számos hivatkozást teremt számodra?

– Úgy van, de messzire ő sem jutott.

– Azért, ugye, neked is motoszkál még a fejedben, hogyan lehetne továbblépni?

– Igen, néha előveszem. Nem hiszem, hogy képes lennék megoldani, de van egy ötletem, amiben reménykedem. Talán még eggyel visszalépve, az így lecsupaszított kérdés megoldható lenne. Igaz, ez is csak annyit jelentene, hogy a tíz kilométerre lévő célhoz egy kilométerrel közelebb kerültünk. De ez is megoldhatatlannak tűnik. S amint már beszéltem róla, ehhez ráadásul fiatalembernek kellene lennem.

– Azért te is őrzöd egykori önmagadat. Nem?

– Igen, de esetemben annyi minden mást is kell tennem, hogy az intenzív szakmai munkára kevés időm marad.

Amerikai diákoknak tart előadást Budapesten (1986)

– Úgy tudom, szerzőtársad, Pavel Pudlák azóta már nem ezen a területen dolgozik.

– Igen, ő váltott, azóta a számítástudomány világnagysága lett.

– Pálfy Péter Pál pedig nem módosított matematikai pályáján, és továbbra is töretlenül hisz abban, hogy ez az univerzális algebrai kérdés csoportelméleti módszerekkel oldható meg. Így van?

– Azt nem hiszem, hogy megoldható, de abban biztos vagyok, hogy a csoportelmélethez tartozik. Honnan veszed ezt a sok információt?

– Olvasgatok ezt-azt, és más, minőségi beszélgetőtársaim is vannak, akik felkészítenek. A csoportelmélészek négyévenként tartanak nagy nemzetközi konferenciát. Honnan indult el ez a sorozat?

– A skóciai St. Andrews Egyetemről. Ahol a brit trónörökös, Vilmos herceg és Kate Middleton megismerkedtek. Ahol egy tengeröbölben forgatták a Tűzszekerek című film zárójelenetét. Ott futottak a fiúk a tengerparton.

– De jó film az!

– St. Andrews pedig jó hely. A golf szülőföldje, és ott indították el 1981-ben ezt a csoportelméleti konferenciasorozatot is. 1989-ig ott tartották, majd Galway, Bath és 2001-ben Oxford következett.

– Ahová már az egyik fő előadónak Pálfy Péter Pált is meghívták. Miről beszéltél?

– Csoportok és hálók volt a négy előadásból álló sorozatom címe. Ez a specialitásom, a csoportelméletet összekötöm az univerzális algebrával. Végül is mai nyelven elmondva a Galois-elmélet is arról szól, hogy a részcsoportok hálója és a közbülső testek hálója fordítottan izomorf egymással. Galois természetesen még nem ezt a nyelvet használta 1832-ben.

– Akit ilyen előadássorozatra felkérnek, azt nagy megtiszteltetés éri. Készülhettél rá rendesen!

– Az egyetemen tanítva mindig azt igyekszem elérni, hogy hallgatóim minél többet megtanuljanak az általam leadott tárgyból. Oxfordban is ilyen elv szerint építettem fel az előadásaimat.

– Ismét próbára teszlek egy szöveggel, felismered-e. „Ő érte el az első mély eredményeket a csoportelméletben, abban a matematikai diszciplínában, amely azóta a tudomány számos területének vált fontos segédeszközévé, és ma is a matematika egyik legvirágzóbb ága.”

– A Természet Világában írtam ezt 1982-ben, Évariste Galois halálának 150. évfordulóján.

– Ma is igaz állításod második része, amely a „legvirágzóbb ágra” vonatkozik?

– Amikor a matematikusi pályámat kezdtem, akkor érett be a véges egyszerű csoportok osztályozásának programja. Ez a matematika történetének leghosszabb bizonyítása.

– Milyen hosszú?

– Erre különböző becslések ismertek, mivel a bizonyítás több száz cikkben van szétszórva. Úgy tíz- és húszezer oldal közé teszik a teljes bizonyítást.

– Hogyan lehetséges ez?

– Azt már Galois óta tudjuk, hogy a szimmetriákat leíró alapeszközöket, a csoportokat miként lehet két kisebbre szétbontani. Amelyeknél ezt nem lehet megtenni, azokat nevezik egyszerű csoportoknak. Bizonyos értelemben ahhoz hasonlítanak, amilyenek a természetes számok között a prímszámok. Ezeket a csoportokat ugyan egyszerűnek nevezzük, valójában nagyon bonyolultak. 1980 körül fejeződött be az összes véges egyszerű csoport megismerésének programja. A tétel úgy szól, hogy íme, ezek és ezek a véges egyszerű csoportok. Mivel ennek ennyire bonyolult és ilyen szétszórt a bizonyítása, Michael Aschbacher professzor a Mathematical Intelligencerben megjelent cikkében azt írja, hogy annak a valószínűsége, hogy ebben a bizonyításban hiba van, az 1!

– Tehát biztosan van hiba a bizonyításban.

– Igen. Később valóban kiderült, hogy egy részesetről elfeledkeztek. Sebaj, Aschbacher egy Stephen Smith nevű matematikussal közösen 1200 oldalas könyvet írt arról, mi történik abban a kihagyott részesetben. Kicsit tehát valóban hit kérdése, hogy elfogadjuk-e ezt a tételt.

– Ki az, aki az egész bizonyítást elolvassa?

– Senki. De annyian és annyiszor gondolkoztak már ezen, hogy ha az eredmény hibás lenne, azt biztosan észrevették volna. A levezetésben vannak ugrások, hiányosságok, netán hibák is lehetnek, de hogy nincs több egyszerű csoport, abban biztosak vagyunk. E tétel használatával viszont annyi, korábban megoldatlan kérdést lehetett elintézni, hogy kár lenne lemondanunk erről az eszközről. Igaz, az ember a publikációjában mindig odaírja, hogy ehhez a bizonyításhoz felhasználtam az egyszerű csoportok klas.szifikációját.

Akkoriban a New York Times-ban is megjelent egy cikk arról, hogy a matematikusok elvégezték a dolgukat, a csoportelmélet lezárult. Igazság szerint mára a csoportelméleti kutatások irányai áthelyeződtek a végtelen csoportokra, amelyek sokkal nehezebben megközelíthetőek, leginkább a végesekkel approximálható végtelen csoportokat vizsgálják. Ilyen irányban szervezett kutatócsoportot az intézetünkben a Lendület program keretében Abért Miklós, egykori doktoranduszom, aki Chicagóból tért haza nyolc év után. Azt vizsgálják, miként lehet a végtelen csoportokat véges struktúrákkal, más csoportokkal, illetve gráfokkal közelíteni.

– Tehát lesz dolguk a XXI. században is a csoportelmélészeknek?

– Lesz. A csoportelmélet örök! Ez a jó a matematikában. Amit egyszer felismerünk, az úgy van. Valami vagy igaz, vagy nem. Ezen nem lehet vitatkozni. Csak el kell olvasni a bizonyítást.

– Hardy írja erről az Egy matematikus védőbeszéde című könyvében: „A matematikai teljesítmény a legidőállóbb, bármi legyen is a belső értéke.” Ki határozza meg, hogy milyen a belső értéke?

– A matematikusok közössége.

– Akkor folytatom az idézetet: „…magán hordozza az időtlenség jegyét…, olyasmit teszünk, ami messze túlmegy azon, amire a legtöbb ember képes.” Látod, te ilyesmiket teszel. Akkor is, ha most nevetsz ezen.

– Nem szoktam ilyen fennkölt gondolatokat megfogalmazni. Egyszerűen csak élvezem a matematikát.

– Az élvezeten kívül mi viszi még előre a kutatót? Nyilván jó, ha van becsvágya is.

– Nyilván.

– Benned mekkora becsvágy van?

– Van. Jólesik az embernek, ha elismerik. Matematikusi fénykoromban, 1990-ben egy izlandi konferencián odajött hozzám egy japán matematikus és viccesen megkérdezte: „Mondd, mennyit fizetsz ezeknek az embereknek, hogy az előadásukban említsék a neved?” Akkor ott tíz előadásban emlegettek.

Egy ausztráliai konferencián, 1989-ben

– Feladatvállaló ember vagy, nem véletlenül ülünk itt, a matematikai kutatóintézet igazgatói szobájában.

– MTA Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet, precízen.

– Jó, úgy írom majd. Szóval, olyan ember vagy, aki kiáll a közösségért. Kendőzetlenül elmondod a véleményed. Hozzászólásodból idézek, az ELTE TTK 2004. május 19-én rendezett Kari Fórumáról, melyen ott volt az oktatásért felelős akkori államtitkár is. A bolognai folyamat káros következményeiről beszéltél, ezzel a végső konklúzióval: „Sajnálom, hogy ilyen sötét képet voltam kénytelen festeni a bolognai folyamatnak karunkra gyakorolt hatásáról… Talán vannak elemek, amelyeken még lehet változtatni… Itt máris nagy bajok vannak, és félek tőle, hogy még nagyobb bajok lesznek. Az út a tudásalapú társadalom felé nem erre vezet.” Mi volt a bajod a bolognai rendszerrel?

– Nem a rendszerrel volt bajom, hanem azzal, ahogyan bevezették. Butaság volt ezt tenni a tanárképzéssel. A tanácskozáson azt mondta az államtitkár úr: jaj, csak a tanárképzésről ne beszéljünk, mert a minisztériumnak erről még nincs álláspontja. Azután két hónappal később ott is bevezették a bolognai rendszert, tönkretéve ezzel a tanárképzést. Most térünk vissza megint az osztatlan tanárképzésre. Ráadásul ennek a rendszernek olyan mellékhatása is lett, amire akkor nem gondoltam. Régen az ötéves képzés után mentek el a legjobbjaink külföldre. Most már három év után elmennek. Megszerzik az alapfokozatot, és Cambridge-ben folytatják az egyetemi tanulmányaikat.

– Mit kellene tenni?

– A közoktatást kell először rendbe szedni! Ott vannak az alapbajok. Amikor az egyetemre, a matematika szakra olyanok is jönnek, akiket nem érdekel a matematika, akkor már nagy a baj.

– Közben sorra temetjük el a nagy tanáregyéniségeket, akik a középiskolákra is figyeltek. Az elmúlt egy év távlatából sorolva: Reiman István, Urbán János, Pálmay Lóránt, Oláh György…

– Sorukba tartozik még a nemrég elhunyt Láng Hugó, kiváló székesfehérvári matematikatanár. Nála tanultam meg tanítani. Egyetemista koromban négy éven át, kéthetente jártam szakkört tartani Láng Hugó iskolájába. Simon Károly, aki most a Műegyetemen tanszékvezető egyetemi tanár, diákként erre a szakkörre járt. Szeretek tanítani. Mindig tanítottam, kivéve azt az időszakot, amikor Humboldt-ösztöníjas voltam Németországban.

Bolyai-ösztöndíjakat ad át a Magyar Tudományos Akadémián, 2011-ben (Hámori Erzsébet felvétele)

– Megtalálnak az elismerések is, legutóbb a Magyar Érdemrend Tisztikeresztjét vehetted át.

– Amit eredetileg kiskeresztnek neveztek.

„Kis keresztem
Hogy szereztem
Feleljétek ezt, ha kérdik:
Elkopott a lába térdig.”

– Írta?

– Arany János. Ez a kitüntetés barátaim aknamunkájának eredménye, előttem végig titokban tartották, hogy javasoltak erre.

– Megnéztem az időrendben összerakott publikációs listádat a neten. Mellettük a hivatkozásszámok. Hogyan látod, a legértékesebbnek tartott cikkedre hivatkoznak legtöbben?

– Amire a legtöbben hivatkoznak, az is elég jó cikkem, de ez nyilván a téma miatt van. A publikáció a csoportelméletnek kombinatorikai alkalmazása, és a kombinatorikában sokkal többen dolgoznak. Jó cikk, de nem ezt tartom a legnagyobb eredményemnek. 

– Hanem?

– Nehéz megmondani. Szerencsére több versenyzőm is van erre a címre.

– Akkor, kérlek, hármat mondj.

– Kettőről már beszéltünk. Harmadiknak talán a primitív feloldható csoportok méretének becslését említeném. Nagyon hasznos cikkem, arra sokan hivatkoznak. Egyik kollégám, Szamuely Tamás előadó volt Párizsban, a Galois-bicentenáriumi konferencián, és ott hallgatott egy előadást a Galois-csoport algoritmuselméleti megközelítéséről. Azt, ugye, már Galois megoldotta, miként lehet eldönteni, hogy egy egyenlet gyökeit kifejezhetjük-e alapműveletekkel és gyökvonásokkal. De vajon ha felírunk egy konkrét egyenletet, akkor számítógéppel ki tudjuk-e számolni, hogy ez így van, vagy sem. Ennek algoritmusát 1983-ban az MIT-ban kidolgozta egy doktorandusz a témavezetőjével. Ő tartott Párizsban előadást erről, és megemlítette, hogy algoritmusának két alappillére van. Az egyik az L³-algoritmus, azaz a Lenstra–Lenstra–Lovász-algoritmus, a másik pedig az én becslésem a primitív permutációcsoportok méretére. Ő nyilván nem P³-becslésnek mondta…

– …bár így illett volna. 

– Lehet. Persze, a tételem felhasználása továbbra is „csak” egy elméleti eredményre vezetett.

– Már korábban is kérdezni akartam: hogyan dolgozol? Vannak, akik papírra írogatják gondolataikat, levezetéseiket…

– Én fel-alá járkálok, s amit fontosnak tartok, felírom a táblára.

– Összefügg a fejtörés módja azzal, hogy a matematika mely ágát műveli a kutató?

– Persze. Nekem a csoportelméletben nem kell sokat számolnom. De szeretek számolni, s azt hiszem, tudok is. A magasabb matematikában és a közértben is. Ma reggel is elképesztettem a pénztárost: ő még húzogatta a leolvasó előtt a tételeket, én már kitettem neki a 2115 forintot. Ez a reggeli agytornám, ahogy teszem a kosaramba, adom össze a tételeket.

– Akkor nemigen tévedsz el a túlzott absztrakció dzsungelében. Az univerzális algebrában dolgozókat nem fenyegeti a veszély, hogy az eredményük már annyira általános, hogy semmitmondó?

– De igen, fennáll ennek a veszélye. A nagyvilágban ismerek olyan kollégákat, akik a konferenciákon szinte a semmiről beszélnek hosszasan, annak sok jó tulajdonságát tanulmányozzák. Úgy érzem, bennem megvan az egészséges érzék ahhoz, hogy megítéljem, milyen problémát válasszak. S ha az egyiken elakadok, akkor egy másikon gondolkozom. Egyszerre több kérdés foglalkoztat.

– Valószínűleg az is segíthet abban, hogy ne szakadj el a realitásoktól, amit kollégáid mondanak rólad: nagyon sok konkrét csoportelméleti struktúrát ismersz.

– Ez így van. Mondogatom is a diákjaimnak, nemcsak elméletet alkotunk, hanem nézzük a konkrét példát is, dolgozzuk ki!

– Az MTA Matematikai Tudományok Osztályának elnökeként hogyan látod, könnyű a mai matematikustársadalmat vezetni? Már béke honol?

– Amit ifjúkoromban hallottam, hogy milyen viharok tomboltak a mi vidékeinken, az már régen a múlté. Ma nyugodtak a vizek.

– Akkor békés hajózást kívánok, és jó kikötéseket, minél több ismeretlen helyen. Köszönöm, hogy beszélgethettünk.

2013 tavaszán

---

Természet Világa,

144. évfolyam, 7. szám, 2013. július http//www.termvil.hu/  https://www.chemonet.hu/TermVil/