Elôzô rész

Bonyolult vonzó és taszító sokaságok = káosz

A periodikus pályák közvetlen közelében a stabil és instabil sokaságok mindig a 6. ábra kereszt-szerkezetét mutatják. Ha azonban eltávolodunk a periodikus pályáktól, e sokaságok nem feltétlenül maradnak sima vonalak, gyakran bonyolult fraktálalakzatokká válnak.

A henger körüli idôfüggetlen áramlásban (1. ábra) a sokaságok kivételesek abban az értelemben, hogy egyszerû görbék, és a henger felsô részén levô torlódási pont taszító sokasága pl. belefut a henger mögötti torlódási pontba, tehát egybeesik e pont vonzó sokaságával. Ezen egybeesô sokaságok választják el a két örvényt a háttéráramlástól.

Amint a befolyási sebesség növelésével kialakul a Kármán-féle örvényút, a stagnációs pontok speciális periodikus pályákká válnak, s egyben megszûnik a fent említett egybeesés. A felsô torlódási pont taszító sokasága ide-oda kanyarodó bonyolult görbévé válik. Ez a végtelen hosszú vonal csak megközelíti a henger mögötti stagnációs pontnak megfelelô periodikus pályát a stroboszkopikus leképzésen, de nem fut bele [6]. A henger mögötti pálya vonzó sokasága egy másik bonyolult görbe. A 8. ábra a sokaságok kezdeti részét mutatja sematikusan. Jól látszik az is, hogy a sokaságok több pontban metszik egymást. Ezek a pontok rendelkeznek azzal a furcsa tulajdonsággal, hogy a rájuk helyezett részecske távolodik ugyan a felsô torlódási ponttól, de a henger mögötti periodikus pályát sohasem éri el, és mindig a henger és a pálya közötti tartományban marad. Az ilyen pontok egy külön halmazt alkotnak, azaz ugyanilyen típusúakba képzôdnek le. E halmaz végtelen sok pontból áll. Környezetükben a sodródó részecskék mozgásáról kiderül, hogy kaotikus, azaz sohasem ismétlôdô. A megfelelô pályák (l. 3. ábra) ebben a tartományban bonyolult görbék, s a kicsit különbözô helyen beérkezô festékrészecskék pályavonala teljesen különbözô görbe lehet. A kaotikus sodródás tehát mindig bonyolult sokaságok megjelenésével együtt lép fel [2].

A probléma összetettségének érzékeltetésére megjegyezzük, hogy a metszéspontok környékén újabb periodikus pályák is megjelennek, melyek periódusa esetleg T nagy egész számú többszöröse. A periodikus pályák száma végtelen, s mindegyik rendelkezik saját vonzó és taszító sokasággal. Ezek mind különbözô görbék, de egymáshoz nagyon közel haladnak el, így e sokaságok mindegyike sokszor visszatér ugyanabba a tartományba, csak egyre közelebb az eredeti ágakhoz. Ebbôl adódik a sokaságok fraktálszerkezete kaotikus sodródás esetén.

A festékcsepp a taszító sokaságot rajzolja ki

Láttuk, hogy a periodikus pályák a torlódási pontokhoz hasonlóak, s hogy a festékcsepp a torlódási pont taszító sokaságára húzódik. Ebbôl következik, hogy idôfüggô áramlások esetén hosszú idô után a festékcsepp valamely periodikus pálya (vagy több ilyen pálya) taszító sokaságát rajzolja ki. Ez kaotikus részecskemozgás esetén egy fraktálgörbe. Ez a felismerés a bevezetôben említett jelenség általános magyarázata. Azt mondhatjuk tehát, hogy fraktálfestékminták a kaotikus sodródás egyértelmû jelei, s taszító sokaságokat rajzolnak ki.

A 9. ábra a henger mögötti periodikus pályák taszító sokaságát mutatja numerikus szimulálás eredményeként [7], s ez jól egyezik a 4. ábra laboratóriumi felvételével. Hasonlóan, a 10. ábrán a kergetôzô füstkarikák egy modelljében számítógéppel meghatározott instabil sokaság látható [8]. Az 5. ábra fényképéhez való hasonlóság itt is meggyôzô, noha pontosan olyan fázisú felvétel, mint a 10. ábra, nem készült.

9. ábra. A henger mögötti periodikus pályák taszító sokaságainak numerikus szimulálással kapott képe a Kármán-féle örvényátban [7]. A látható vonalak jól egyeznek a 4. ábrával, de bizonyos részek kirajzolódásához a számítás ideje nem volt elegendô	10. ábra. A kergetôzô füstkarikák egy modelljében kialakuló periodikus pályák taszító sokaságai (numerikus szimulálás) [8]. Érdemes összehasonlítani az 5. ábra két utolsó képével

A sodródás idôbeli lefolyásáról is számot adó képet kapunk, ha különbözô színekkel kódoljuk a különbözô idôpontokban az örvényekkel kölcsönhatásba kerülô részecskéket. Kísérletileg ez annak felel meg, hogy a füstkarikák olyan közegben haladnak elôre, melyet a haladásra merôlegesen, sávonként különbözô színûre festünk vagy különbözô színû teflongolyókkal fedünk be. Színes címlapképünk a kergetôzô füstkarikák egy modelljében számítógépes szimulálással kapott ábrát mutatja [8] (a füstkarikák itt lefelé haladnak). A színek megválasztása a következô: a piros az a szín, ami a 10 vagy több periódussal korábbi idôszakban, tehát nagyon régen befolyt festékeket jelzi. A barna, sárga és a két zöld árnyalat rendre a 10, 9 és 8-7 periódussal korábbi színek. A kékek és lilák azon sávok színei, melyeken 6-4, ill. 3-2 periódussal korábban haladt át a karikakettôs. A felvétel készítése elôtti periódusban a világosszürke sávon haladt át a rendszer. (A sötétvörös szín az örvények magját jelzi, ahová nem juthatnak be részecskék.)

Az örvények közelében találhatók olyan festékek (piros, sárga), melyekkel nagyon régen találkoztak. Különösen érdekes ez, ha hozzátesszük, hogy minden egyszínû tartomány összefüggô, tehát a kis színes foltok vékony szálakkal összekapcsolódnak az adott szín nagyobb tartományaival. Egy ilyen szál kialakulása jól látható a világoslila szín esetén. A korábbi találkozásoknak megfelelô színek szálai már olyan vékonyak, hogy a kép felbontásában nem láthatóak. Más szavakkal, az örvényrendszer minden színból magával ragad egy darabot, azt "földarálja" (összekeveri a többi színnel). Egy részét azután kiveti magából, de tetszôlegesen hosszú idô után is van minden színbôl egy kevés a rendszerben. A sokszínû tartományok éppen a taszító sokaságot, azaz a 10. ábrát rajzolják ki, tehát a címlapkép azt is mutatja, hogy idôben hogyan közelitik meg a részecskék ezt a fraktálszerkezetet.

Káosz egy csésze kávéban

A most megismert mechanizmussal magyarázható számos hétköznapi tapasztalat is. A nyugodt levegôben felszálló cigarettafüst szétterülése (11. ábra) is fraktálszerkezetû. A Kármán-féle örvényútban történô sodródással kapcsolatos az a megfigyelés, hogy hídpillérek vagy kis földnyelvek mögött a sodródó részecskék ideiglenesen fölhalmozódhatnak. Ha kiterjedt szennyezôdés mozgását követjük, az szálas, fraktálszerkezetû lesz az akadály mögött. Ugyanennek nagy léptékû megnyilvánulása egy magas hegy mögötti örvényút következtében a felhôrétegben kialakuló mintázat (12. ábra), mely szinte azonos a 4. ábra taszító sokaságával.

11. ábra. Felszálló cigarettafüst	12. ábra. Felhôkben kirajzolódó taszító sokaság mûholdfelvétele egy hegy mögötti Kármán-féle örvényútban

Az eddigi példák mind nyílt áramlásokra vonatkoztak. Nem nehéz elképzelni, hogy zárt tartományokban is hasonló a helyzet. Amikor különbözô színû festékeket keverünk össze (13. ábra), vagy amikor a kávéban, kakaóban a tejszínt elkeverjük (14. ábra), szintén fonalas, fraktál mintázatokat látunk. Általánosabban, minden keverési folyamat fraktál határvonalak megjelenésével kapcsolatos. Ennek megmerevedett példája a kakaós kalács belsejében a sötét és világos tészta közötti határfelület.

13. ábra. Különbözô festékek keverése edényben	14. ábra. Tej keveredése kávéban

Noha az áramlás nem feltétlenül periodikus, most is igaz, hogy bizonyos taszító sokaságok rajzolódnak ki. Zárt rendszerben ezek csak véges ideig fraktálok, hosszú idô után egész tartományokat járnak be, melyek már nem fraktálok. Az eddig elhanyagolt diffúzió konkrét esetekben lényeges lehet, ami még korábban vezethet egy tartomány egyenletes beszínezôdéséhez. Ennek ellenére mondhatjuk, hogy a tócsák felületén elterülô szivárvány színû olajfoltokon, a Dunán hóesésben, a fagyásponthoz közeli vízben frissen összeálló jégtáblákon, a locsolás közben a földbôl kioldódó fehér habban, a vattacukorban stb. megfigyelhetô szálas mintázat mind hasonló eredetû. Mindegyik egy fraktálszerkezetû taszító sokaság kirajzolódása, mely a festetlen rendszerben is jelen van, csak nem látható. Ez egyben a sodródó részecskék kaotikus viselkedésének egyértelmû és látványos megnyilvánulása, és világosan illusztrálja azt a megfigyelést is, hogy a kaotikus mozgás mindig határozott szerkezettel jár együtt.

Köszönetnyilvánítás: A szerzô köszönetét fejezi ki Péntek Áronnak és Toroczkai Zoltánnak a témával kapcsolatos számos megbeszélésért és az eredményes közös munkáért. E kutatások részben a T19483 sz. OTKA pályázat keretében folynak.

IRODALOM

1. L. D. Landau, E. M. Lifsic: Hidrodinamika (Tankönyvkiadó, Bp. 1980)
2. J. M. Ottino: The Kinematics of Mixing: Stretching, Chaos and Transport (Cambridge U. Press, 1989); J. M. Ottino, Scientific American 260, 40 (1989); (magyar fordítás: Tudomány 1989. márc. 36. old.)
3. C. Jung, E. Ziemniak, J. Phys A25, 3929 (1992); C. Jung, T. Tél, E. Ziemniak: Chaos 3, 555 (1993); Physica D76, 123 (1994)
4. M. Van Dyke: An Album of Fluid Motion (The Parabolic Press, Stanford, 1982)
5. Tél T.: Természet Világa 115, 106 (1984)
6. K. Shariff, T. H. Pulliam, J. M. Ottino, Lect. Notes in Appl. Mathematics 28, 613 (1991)
7. D. Beigie, A. Leonard, S. Wiggins: Chaos, Solitons and Fractals 4, 749 (1994)
8. Á. Péntek, T. Tél, Z. Toroczkai: J. Phys. A28, 2191 (1995); Fractals 3, 33 (1995)