Vannak matematikai problémák, amelyek elsõ pillantásra minden jelentõséget nélkülöznek, és a felületes érdekességen kívül nem tûnnek sem fontosnak, sem hasznosnak. Évtizedek múltán azonban kiderül, hogy a probléma nagyon is inspiráló volt, és hogy az elmélet milyen sokat köszönhetett a probléma megoldására irányuló kísérleteknek vagy a megoldásból kiinduló újabb kutatásoknak. Ezek azok a problémák, amelyek az elméleti, “absztrakt” matematika és a pejoratív értelemben használt ún. “problémamegoldó” matematika szembeállítását értelmetlenné teszik.

  Ilyen inspiráló problémának bizonyult a következõ kérdés, amelyet S. Kakeya japán matematikus vetett fel 1917-ben: Melyik az a legkisebb területû síkbeli tartomány, amelyben egy egységnyi hosszúságú szakasz megfordítható, azaz folytonos mozgással önmagába vihetõ úgy, hogy közben 360^o-os fordulatot tegyen?

  Nevezzük K-halmaznak azokat a síkbeli tartományokat, amelyekben egy egységnyi hosszúságú szakasz megfordítható. Az egységnyi átmérõjû körlap nyilván K-halmaz, hiszen az átmérõjét a középpont körül megforgatva a körlapban maradunk. Ez tehát egy p/40,78 területû K-halmaz.

  Az egységnyi magasságú szabályos ABC háromszög ugyancsak K-halmaz. Valóban, legyen az AD szakasz hossza egységnyi. Forgassuk el AD-t az A csúcspont körül 60^o-kal úgy, hogy az AC oldalra kerüljön (1. ábra). Az így kapott AE szakaszt csúsztassuk el az AC oldal mentén úgy, hogy az egyik végpontja C-be kerüljön, majd forgassuk el C körül 60^o-kal. Az eljárást 6-szor megismételve a szakasz visszakerül eredeti helyzetébe, miután megtett egy 360^o-os fordulatot. Az ABC háromszög területe 3/30,58; a háromszög tehát az egységnyi átmérõjû körlapnál kisebb területû K-halmaz. Pál Gyula (1881–1947), aki sokat foglalkozott a Kakeya-problémával, 1921-ben bebizonyította, hogy a konvex tartományok körében már nem találhatunk az egységnyi magasságú szabályos háromszögnél kisebb területû K-halmazt.
 
 

1. ábra	2. ábra

  A konkáv tartományok között azonban van kisebb K-halmaz! Rögzítsünk egy R sugarú körlapot, és képzeljünk el egy kisebb, r sugarú kört, amely az elõbbi kört belülrõl érintve csúszás nélkül végiggördül annak a kerületén. A kisebb kör egy adott pontjának a pályáját hipocikloisnak nevezzük. Ha r=R/3, akkor az így kapott hipociklois egy három csúccsal rendelkezõ T tartományt határol (2. ábra). E hipociklois egyik nevezetes tulajdonsága, hogy bármely érintõjének a T tartományba esõ szakasza ugyanolyan hosszúságú, és ha R-et 3/4-nek választjuk, akkor ez a közös hosszúság éppen 1 lesz. Ebbõl következik, hogy a T tartomány (az R=3/4 választás mellett) szintén K-halmaz. Valóban, ha egy P pont kétszer végighalad a hipocikloison, akkor a P-beli érintõnek T-be esõ része az egységszakasznak olyan folytonos mozgását adja meg, amely a szakaszt a T tartományon belül 360^o-kal elforgatja. Ismeretes, hogy T területe p/80,39; ez tehát a háromszögnél kisebb területû K-halmazt szolgáltat.

  Amint a háromcsúcsú hipocikloisnak ez a tulajdonsága ismertté vált, azonnal megfogalmazódott a sejtés, hogy ez a tartomány adja a Kakeya-probléma megoldását. Ezt sokan próbálták – sikertelenül – bebizonyítani, és a probléma úgy vált közismertté, mint egyike a nagyon egyszerûen megfogalmazható, de annál nehezebbnek bizonyuló kérdéseknek. G. D. Birkhoff, korának egyik nagy matematikusa, a Kakeya-problémát ebben az összefüggésben együtt említi a négyszínsejtéssel. Pedig ekkorra (1925-re) a probléma megoldásához vezetõ gondolat már megszületett.

  Abram Samojlovich Besicovitch (1891–1970) századunk egyik legeredetibb gondolkozású matematikusa volt. Oroszországban született, de 1924-ben elhagyta az országot; egy évet Koppenhágában töltött (ahol Pál Gyula is mûködött), majd Angliában telepedett le. Besicovitch 1920-ban publikált egy dolgozatot, amelyben – a Kakeya-problémáról mit sem tudva – olyan nullterületû síkbeli halmazt konstruált, amely minden irányban tartalmaz egységnyi hosszúságú szakaszt. (Egy síkbeli halmazt akkor nevezünk nullterületûnek, ha lefedhetõ akármilyen kis összterületû véges téglalaprendszerrel.) Oroszország akkori izoláltsága miatt Besicovitch cikke nem jutott el a nemzetközi matematikai köztudatba, aminthogy a Kakeya-probléma sem jutott el Oroszországba. De Besicovitch emigrációja után az eredmény hamarosan ismertté vált.

  Pál Gyula azonnal felismerte, hogy a Besicovitch által megoldott probléma közeli rokona a Kakeya-problémának, hiszen mindkettõben olyan, minél kisebb területû halmazt keresünk, amely minden irányban tartalmaz egységnyi hosszúságú szakaszt. Igaz, a Kakeya-problémában ezen kívül még a szakasz folytonos mozgását is megköveteljük, és ez kizárja a nullterületû megoldás lehetõségét. Azonban Pál Gyula észrevette, hogy Besicovitch konstrukciójának alapgondolata erre is alkalmazható. A konstrukció lényege ugyanis a következõ, önmagában is meglepõ állítás. Legyen ABC egy háromszög, és legyen e egy tetszõlegesen kicsiny pozitív szám. Ekkor az AB szakaszt az A=A₀, A₁, ..., A_n=B pontokkal feloszthatjuk véges sok egyenlõ részre, majd az A_i–1A_iC háromszögeket az AB szakasz irányában eltolhatjuk úgy, hogy az eltolt háromszögek egyesítésének a területe a megadott e  számnál kisebb legyen (3. ábra). Ezt az állítást a továbbiakban Besicovitch-lemmának fogjuk nevezni. (A lemmának Besicovitch által adott eredeti bizonyítása rendkívül komplikált volt. Késõbb a bizonyítást sokan egyszerûsítették. Az O. Perron által adott bizonyítás különösen egyszerû, de még ennek az ismertetése is meghaladná ennek a cikknek a kereteit.)
 
 

3. ábra	4. ábra

  Pál Gyula felismerése abban állt, hogy a Besicovitch-lemma felhasználásával a Kakeya-probléma már könnyen megoldható, méghozzá a következõ, meglepõ értelemben. A háromcsúcsú hipociklois nem a legkisebb területû K-halmaz, ugyanis legkisebb területû K-halmaz nem létezik. Pontosabban, bármely elõre megadott pozitív e számhoz van olyan K-halmaz, amelynek a területe kisebb, mint e. Van tehát olyan K-halmaz, amelynek a területe kisebb, mint 0,1; sõt olyan is van, amelynek a területe kisebb, mint 0,01; és így tovább.

  Ezt így láthatjuk be. Elõször is megmutatjuk, hogy az egységsugarú körlapot feloszthatjuk véges sok körcikkre úgy, hogy ezeket alkalmasan eltolva, az egyesítésük területe kisebb legyen, mint egy tetszõleges, elõre megadott e pozitív szám. Írjunk ugyanis a kör köré egy 2 oldalhosszúságú ABCD négyzetet, és az átlóinak behúzásával osszuk fel négy háromszögre, melyek közös O csúcsa megegyezik a kör középpontjával (4. ábra). Alkalmazzuk a Besicovitch-lemmát az ABO háromszögre, de e helyett e/4-gyel! Azt kapjuk, hogy van egy n szám a következõ tulajdonsággal: ha a négyzet AB oldalát felosztjuk n egyenlõ részre és az osztópontokat összekötjük O-val, akkor az így kapott háromszögeket eltolhatjuk úgy, hogy ezen eltolt háromszögek egyesítésének a területe kisebb legyen, mint e/4. Hasonló állítás igaz a BCO, CDO, DAO háromszögekre is, tehát a négyzetet felbonthatjuk 4n olyan háromszögre, melyek egyik csúcsa az O pont, és amelyeket alkalmasan eltolva egy 4·(e/4)=e-nál kisebb területû A alakzatot kapunk. Ezen háromszögek az eredeti körlapot körcikkekre vágják, és ezek megfelelõ eltoltjai részei A-nak, tehát az egyesítésük területe szintén kisebb e-nál.

  A kis területû K-halmaz konstrukciójához szükségünk lesz még a következõ – Pál Gyulától származó – gondolatra. Legyenek AB és CD párhuzamos és egységnyi hosszúságú szakaszok. Ekkor AB-t folytonos mozgással CD-be vihetjük úgy, hogy a mozgás során súrolt rész területe kisebb legyen, mint egy tetszõleges, elõre megadott h pozitív szám. Valóban, forgassuk el AB-t a B végpont körül úgy, hogy a súrolt körcikk területe kisebb legyen, mint h/2. Az így kapott A₁B szakaszt toljuk el a saját egyenese mentén úgy, hogy a kapott A₂B₁ szakasz A₂ végpontja a CD egyenesre essék. Most forgassuk el A₂B₁-et az A₂ végpont körül úgy, hogy a kapott A₂B₂ szakasz B₂ végpontja is a CD egyenesre essék (ezzel ismét csak h/2-nél kisebb területet súrolunk), végül toljuk el A₂B₂-t CD-be (5. ábra).
 
 

5. ábra	6. ábra

  Tegyük fel, hogy olyan K-halmazt szeretnénk készíteni, amelynek a területe kisebb, mint egy adott e szám. Amint az imént láttuk, az O középpontú egységsugarú körlapot feloszthatjuk olyan P₁P₂O, P₂P₃O, ..., P_kP₁O körcikkekre, amelyek alkalmas eltoltjai egy e/2-nél kisebb területû A alakzatot képeznek. Legyenek ezek az eltoltak Q₁R₁O₁, Q₂R₂O₂, ..., Q_kR_kO_k (6. ábra). Most megadjuk az O₁Q₁ szakasz egy olyan folytonos mozgását, amely a szakaszt 360^o-kal elforgatja úgy, hogy a súrolt terület kisebb, mint e; a szakasz által súrolt tartomány tehát egy keresett K-halmaz lesz. Elõször is forgassuk el O₁Q₁-et O₁R₁-be; ez a mozgás az A alakzaton belül történik. Mivel O₁R₁ párhuzamos O₂Q₂-vel, azért folytonos mozgással abba átvihetõ úgy, hogy közben egy e/(2k)-nál kisebb területet súroljon. Most forgassuk el O₂Q₂-t O₂R₂-be; ez a mozgás ismét az A alakzaton belül történik. Mivel O₂R₂ párhuzamos O₃Q₃-mal, azért folytonos mozgással abba átvihetõ úgy, hogy közben egy e/(2k)-nál kisebb területet súroljon. Az eljárást k-szor megismételve végül visszajutunk O₁Q₁-be, és a súrolt terület kisebb lesz, mint A területe plusz k·(e/(2k))=e/2, ami kisebb, mint (e/2)+(e/2)=e.

  Ahogy az általában lennni szokott, a Kakeya-probléma megoldása számos új kérdést vetett fel. Az elsõ kérdés a fenti megoldáshoz kapcsolódik. Könnyen látható, hogy ebben a megoldásban a szakaszt “nagyon messzire” kell eltolnunk: minél kisebb területû K-halmazt konstruálunk, annál nagyobb lesz a tartomány átmérõje, azaz legtávolabbi pontjainak távolsága (5. ábra). Ezért természetesen merült fel az a kérdés, hogy vannak-e tetszõlegesen kis területû és ugyanakkor korlátos átmérõjû K-halmazok. A választ H. J. van Alphen adta meg 1941-ben: kiderült, hogy minden, 2-nél nagyobb sugarú körlap tartalmaz akármilyen kis területû K-halmazt. F. Cunningham 1971-ben ezt tovább javította; megmutatta, hogy már az egységsugarú körlap is tartalmaz tetszõlegesen kis területû K-halmazokat. Könnyû belátni, hogy ez már nem javítható tovább. Ha ugyanis r<1, akkor az r sugarú körlap által tartalmazott K-halmazok mindegyike tartalmaz egy 1–r sugarú körlapot, tehát a területe nem lehet kisebb p(1–r)2-nél.

  Besicovitch eredeti konstrukciója olyan nullterületû halmazt ad meg, amely minden irányban tartalmaz egységnyi hosszúságú szakaszt. A nullterületû halmaz fogalmának általánosítása az ún. nullmértékû halmaz. (Egy halmazt akkor nevezünk nullmértékûnek, ha lefedhetõ téglalapok olyan végtelen sorozatával, amelynek a területösszege tetszõlegesen kicsi lehet.) A nullmértékû halmazok, bár lényegesen nagyobbak lehetnek, mint a nullterületûek (például nem feltétlenül korlátosak), még mindig “kis” halmazoknak tekinthetõk. Besicovitch megmutatta, hogy van olyan nullmértékû halmaz, amely minden irányban tartalmaz teljes egyenest. Besicovitchnak ez a tétele döntõ hatással volt a geometriai mértékelmélet fejlõdésére. Kiderült, hogy ez a tény a síkbeli halmazok szerkezetének megértését nagy lépéssel viszi elõbbre, és alapvetõ fontosságú a kétváltozós függvények és a mértékek integrálásának elméletében. Felmerült a kérdés, hogy vannak-e hasonló tulajdonságú halmazok a térben vagy még magasabb dimenzióban. Ha a síkbeli Besicovitch-halmazt egy egyenes körül megforgatjuk, akkor olyan térbeli nullmértékû halmazt kapunk, amely minden (térbeli) irányban tartalmaz egyenest, azaz minden térbeli egyenesnek tartalmazza egy eltoltját. De van-e olyan térbeli nullmértékû halmaz, amely minden síknak tartalmazza egy eltoltját? Ezt a kérdést csak 1979-ben sikerült megoldani, amikor is J. M. Marstrand (Besicovitch egyik tanítványa) megmutatta, hogy ilyen halmaz nem létezik! A következõ általános kérdés az volt, hogy adott n>k esetén van-e az n dimenziós térnek olyan nullmértékû részhalmaza, amely minden k dimenziós ún. hipersíknak tartalmazza egy eltoltját. A kérdést K. J. Falconer döntötte el 1980-ban; kiderült, hogy k=1 esetén van ilyen halmaz, de k>1-re nincs.

  De térjünk vissza a síkra! 1968-ban Besicovitch és R. Rado, valamint tõlük függetlenül J. R. Kinney konstruáltak olyan síkbeli nullmértékû halmazt, amely minden r-re tartalmaz r sugarú körvonalat; tehát minden síkbeli körvonalnak tartalmazza egy eltoltját. 1971-ben R. O. Davies olyan nullmértékû halmazt konstruált, amely minden sokszögvonalnak tartalmazza egy eltoltját. Különös módon ennél általánosabb görbékre nem sikerült hasonló halmazokat konstruálni. Nem ismeretes például, hogy van-e olyan nullmértékû halmaz, amely minden ellipszisnek tartalmazza egy eltoltját. Amint látjuk, a Kakeya-problémával kapcsolatos kérdések kifogyhatatlanok, és minden bizonnyal még sokáig lesznek inspiráló hatással a geometriai mértékelmélet fejlõdésére.

IRODALOM

1 A. S. Besicovitch, On Kakeya's problem and a similar one, Math. Z. 27 (1928), 312–320.

2 A. S. Besicovitch, The Kakeya problem, Amer. Math. Monthly 70 (1963), 697–706.

3 F. Cunningham, the Kakeya problem for simply connected and for star-shaped sets, Amer. Math. Monthly 78 (1971), 115–129.

4 F. Cunningham, Three Kakeya problems, Amer. Math. Monthly 81 (1974), 582–592.

5 K. J. Falconer, Sections of zero Lebesgue measure, Mathematika 27 (1980), 90–96.

6 S. Kakeya, Some problems on maximum and minimum regarding ovals, Tohoku Science Reports 6 (July 1917), 71–88.

7 J. M. Marstrand, Packing smooth curves in Rq, Mathematika 26 (1979), 1–12.

8 J. M. Marstrand, Packing planes in R3, Mathematika 26 (1979), 180–183.

9 J. Pál, Ein Minimumproblem für Ovale, Math. Ann. 83 (1921), 311–319.